Собственные значения и нулевое пространство
Я хотел бы лучше понять отношения между нулевым пространством и собственными значениями матрицы.
Прежде всего, мы знаем, что $n \times n$ матрица будет иметь $n$ собственные значения, хотя собственные значения могут быть сложными и повторяться.
Далее мы знаем, что если $A$ имеет собственное значение 0, то соответствующий собственный вектор находится в нулевом пространстве $N(A)$, поскольку $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. Это означает, что все собственные векторы, соответствующие собственному значению 0, точно покрывают$N(A)$.
Используя два вышеупомянутых вывода, и предположим, что мы имеем $n \times n$ матрица с рангом $r$, теперь мы знаем, что размер пустого пространства равен $n-r$. Из этого можно сделать вывод, что будет не менее $n-r$собственные значения, равные 0? и точный $n-r$ независимые собственные векторы для охвата нулевого пространства?
Ответы
Если $A$ имеет полный ранг, то размерность нулевого пространства в точности равна $0$.
Сейчас если $A_{n×n}$ имеет звание $r\lt n $, то размер пустого пространства $=(n-r)$. Этот$(n-r)$будет геометрической кратностью собственного значения$0$.
Но мы знаем, что алгебраическая кратность $\ge$ геометрическая кратность .
Итак, алгебраическая кратность собственного значения $0$ должно быть как минимум $(n-r)$. Это означает, что будет не менее$(n-r)$ количество $0$s, как собственные значения $A$.
А поскольку геометрическая кратность собственного значения $=$ количество линейно независимых собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, можно сделать вывод, что существует ровно $(n-r)$ числа линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению $0$.
Учитывая матрицу $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:
Вектор $x$ является собственным вектором $A$ если $Ax = \lambda x$ где $\lambda$ - собственное значение.
Ядро (пустое пространство) $A$ это набор $\{v | Av=0\}$, т.е. все $v$ которые имеют собственное значение $0$.
Собственное подпространство, $E_{\lambda}$, является нулевым пространством $A-\lambda I$, т.е. $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. Обратите внимание, что пустое пространство просто$E_{0}$.
Геометрическая кратность собственного значения $\lambda$ это размер $E_{\lambda}$, (а также количество независимых собственных векторов с собственным значением $\lambda$ этот промежуток $E_{\lambda}$)
Алгебраическая кратность собственного значения $\lambda$ это количество раз $\lambda$ появляется как корень для $det(A-x I)$.
алгебраическая кратность $\geq $ геометрическая кратность.
Рассмотрим следующий пример. $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
потом $n = 2$ и звание $rank(A) = 1$. В$det(A-x I) = x^{2}$ и корни $x = \{0,0\}$. Мы видим, что собственное значение$0$ имеет алгебраическую кратность $2$. Но геометрическая кратность - это размерность$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ который $1$. Итак, из этого примера мы видим, что$n-r = 1$, равную геометрической кратности $\lambda = 0$.
Таким образом, мы заключаем, что $\lambda = 0$ будет иметь алгебраическую кратность не менее $n−r$ и геометрическая кратность $n−r$. Это очевидно из определения ранга и геометрической кратности.