Связь между проекциями $y$ на $x_1, x_2$ индивидуально против проекции на обоих?
По сути, это похоже на вопрос, который я только что задал при перекрестной проверке , но здесь я собираюсь сформулировать его в виде линейной алгебры.
Рассмотреть возможность $y \in \mathbb{R}^n$ а также $x_1, x_2, 1_n \in \mathbb{R}^{n}$. Предположим, вы проецируете ортогонально$y$ на $x_1, 1_n$ и найти проекцию $y$ на подпространство, натянутое на $x_1, 1_n$ можно записать как $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1 + b_1$, т.е. линейная комбинация $x_1$плюс некоторое смещение. Теперь сделайте то же самое для ортогональной проекции$y$ на $x_2, 1_n$ и найти $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2 + b_2$.
Теперь рассмотрим проектирование $y$ на подпространство, натянутое на оба $x_1, x_2, 1_n$ и найти $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2 + b_{12}$.
Если $x_1 \perp x_2$тогда я знаю $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$. Но что, если они не ортогональны?
Что я могу сказать об отношениях между $\hat{\beta}$ а также $\hat{\gamma}$ в таком случае?
Некоторые конкретные вопросы, которые меня также интересуют: $\hat{\beta} >0 $, означает ли это $\hat{\gamma} > 0$? Если$x_1, x_2$ линейно зависимы, то я не думаю, что это не будет верно для одного из коэффициентов.
Ответы
Я не могу сказать, что полностью понял, что это за константы $b_1$, $b_2$ или же $b_{12}$для. Но я понял суть вашего вопроса и постараюсь изо всех сил.
Скажем, ортогональная проекция $y$ на подпространство, натянутое на $x_1$ можно записать как $\hat{y}_1 = \hat{\beta}_1 x_1$, т.е. линейная комбинация $x_1$. Теперь сделаем то же самое для ортогональной проекции$y$ на $x_2$ и найти $\hat{y}_2 = \hat{\beta}_2 x_2$.
Также у нас есть проекция $y$ на подпространство, натянутое на оба $x_1, x_2$ и найти $\hat{y}_{12} = \hat{\gamma}_1 x_1 + \hat{\gamma}_2x_2$.
Без ограничения общности можно сказать, что векторы $x_1$ а также $x_2$ являются единичными векторами и представляют их как $\hat{x_1}$ а также $\hat{x_2}$. Если вы не хотите этого делать, перепишите все векторы в терминах$\hat{x_1}$ а также $\hat{x_2}$. Так, например,$\hat{\beta_1}$ станет $\hat{\beta_1} ||x_1||$
Теперь рассмотрим это утверждение. Ортогональная проекция$\hat{y_{12}}$ на $x_1$ будет таким же, как $\hat{y_1}$ и ортогональная проекция $\hat{y_{12}}$ на $x_2$ будет таким же, как $\hat{y_2}$.
Итак, по определению проекции,
$$ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_1}|| $$
$$ \implies (\hat{\gamma}_1 \hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}).\hat{x_1} = ||\hat{y_1}||$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_1} + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1$$
$$ \implies \hat{\gamma}_1 + \hat{\gamma}_2 \hat{x_2}.\hat{x_1} = \hat{\beta}_1 \tag{1}$$
Аналогичным образом мы можем решить $ \hat{y_{12}}.\hat{x_1} = ||\hat{y_2}|| $ получить
$$ \implies \hat{\gamma}_1 \hat{x_1}.\hat{x_2} + \hat{\gamma}_2 = \hat{\beta}_2 \tag{2}$$
Вот и все. У нас есть 2 уравнения и 2 неизвестных.
Очевидно, мы должны знать значение $\hat{x_1}.\hat{x_2}$, другими словами, косинус угла между ними, чтобы получить требуемые соотношения. В случае, если$\hat{x_1}$ а также $\hat{x_2}$ ортогональны, $cos \frac{\pi}{2}=0$ и, следовательно, результат, который вы дали $\hat{\beta}_i = \hat{\gamma}_i$.