Условия сходимости итерационной схемы

Question

Позволять $A$- сингулярная и симметричная матрица, причем$\lambda_1=0$ и $\lambda_i >0$ для $i=2,\ldots,n$.

Рассмотрим итерацию

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

При каких условиях на $x_0$, $\alpha$ и $b$, сходится ли оно к истинному решению $Ax =b$?

---

Я действительно не могу пошевелиться. Я пытался вычислить$e_{k+1}$но я не нашел полезного отношения. Кроме того, я не знаю, как найти ограничения на$x_0$.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ

Я попытался подписаться на комментарий @uranix и обнаружил: $$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

который я переписываю (используя последовательность) как $$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

Следовательно $$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

Теперь я бы потребовал, чтобы спектральный радиус был меньше $1$, но с тех пор $$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$ У меня первое собственное значение $1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

Так что я ничего не могу сказать о конвергенции ... должен быть другой путь. Действительно, я не использовал симметрию, а также никаких условий на$x_0$, как написано в тексте

Answer 1

Небольшая подсказка.

Как я сказал в комментариях, рассмотрите базис собственных значений. Базисные векторы ортогональны и могут быть масштабированы для формирования ортонормированного базиса:$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

Расширение векторов ошибок по базису $e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$позволяет переписать условие сходимости с использованием коэффициентов разложения. Использование личности Парсеваля$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$ получаем, что $e_k \to 0$ происходит только если для всех $m$ каждый коэффициент сходится к нулю, то есть $$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

Действуя с $(I - \alpha A)^k$ на $e_0$ действует на каждое собственное значение отдельно: $$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

Сравнивая правую часть с $\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ мы сразу получаем отношение $$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

Теперь вам решать, при каких условиях $\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$ для каждого $m = 1,\dots,n$.