Вопрос о расчете ожидания [дубликат]

Aug 18 2020

Позволять $X$ и $Y$ быть двумя случайными величинами.

Я заметил, что в книге говорится $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ без доказательств.

Думаю, для простейшего случая доказательством может быть следующее: $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.

Но что произойдет, если соответствующие вероятности для Y равны $q_i$ и $p_i \ne q_i$ в общем?

Ответы

1 tommik Aug 18 2020 at 15:59

Примечание : для простоты напишу$f(x,y)$ вместо того $f_{XY}(x,y)$. Следующее доказательство относится к непрерывному случаю, но аналогичное доказательство проводится в дискретном случае или в общем случае.

$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$

РЕДАКТИРОВАТЬ: Дискретный случай

$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$