Задача Коши с параметром на начальных данных

Question

Рассматривать

\ begin {cases} y '= y ^ {\ frac {1} {3}} \\ y (0) = k \ in \ mathbb {R} \ end {cases}

• Для каких значений $k$ есть ли у проблемы уникальное локальное решение?
• Покажите это для других значений $k$ проблема имеет более одного решения

---

я) $f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$ является непрерывной функцией над $\mathbb{R}^2$, в то время как $f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$ который прерывается на $0$. Поэтому в любом районе$(0,k)$ с участием $k\ne0$, $f_y$ непрерывно, а значит, у меня есть локальное существование и единственность решения.

ii) Прежде всего отмечу, что $f(t,y)$не липшицев, поэтому не жду уникальности. Действительно, для$k=0$, $y(t)=0$ это решение, и путем интеграции я нашел также $$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

** Все правильно? **

Answer 1

Первая часть правильная, а вторая - нет. Но у тебя была хорошая идея.

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$ тогда $y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$.

Рассмотрим сейчас $y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$ и проверьте это $y'=y^\frac{1}{3}$.