$2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$

คำตอบของ Chris Eagle นั้นถูกต้อง แต่มีรายละเอียดปลีกย่อยที่ควรค่าแก่การกล่าวถึง

ก่อนอื่นเราต้องพิสูจน์ว่ามีพระคาร์ดินัลที่นับไม่ได้ที่เล็กที่สุดก่อนที่เราจะเรียกมันว่า$\aleph_1$และนี่เป็นเรื่องไม่สำคัญ แบ่งนี้ออกเป็นสองชิ้นและที่สำคัญเพื่อให้คนที่สองเป็นจริงของการเลือก ,$\mathsf{AC}$:

• โดยไม่ต้องใช้ $\mathsf{AC}$เราสามารถแสดงให้เห็นว่าลำดับชั้นดี - (ก่อน) เรียงลำดับโดยคาร์ดินัลลิตี้และมีลำดับที่นับไม่ได้ ดังนั้น " ลำดับที่นับไม่ได้น้อยที่สุด" จึงมีความหมายและนี่คือสิ่งที่เราเรียกว่า$\aleph_1$ หรือ $\omega_1$(สัญกรณ์หมายถึงสิ่งเดียวกัน แต่ทำหน้าที่เป็นเบาะแสบริบทเนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์ที่มากเกินไป - ดูเลขคณิตที่สำคัญเทียบกับเลขคณิตลำดับและกลายเป็นเรื่องน่าเศร้า)

• $\mathsf{AC}$จากนั้นบอกเราว่าทุกชุดมีอคติกับลำดับบางส่วน ดังนั้นในความเป็นจริงเรามีความชอบธรรมในการอ้างถึง$\aleph_1$ เป็น "พระคาร์ดินัลที่นับไม่ได้น้อยที่สุด:" if $X$ เป็นชุดที่นับไม่ได้แล้วจะต้องมีการฉีด $\aleph_1$ เป็น $X$.

โปรดทราบว่าสัญลักษณ์แสดงหัวข้อแรกด้านบนอธิบายอย่างเป็นรูปธรรม $\aleph_1$; อย่างไรก็ตามคำอธิบายนั้นค่อนข้างเป็นเทคนิค โดยพื้นฐานแล้ว$\mathsf{CH}$ คือสมมุติฐานที่เราสามารถแทนที่คำอธิบายตามลำดับของ $\aleph_1$ ด้วยวิธีที่ใช้งานง่ายกว่ามากนั่นคือ "ความสำคัญของ $\mathbb{R}$.”

ประการที่สองการใช้ทางเลือกข้างต้นแนะนำคำถามทันที: ถ้าเราไม่คิดว่าจะเลือกอะไร? นั่นคือถ้าเราทำงาน$\mathsf{ZF}$ แทน $\mathsf{ZFC}$เหรอ?

ในกรณีนี้สิ่งต่างๆจะซับซ้อนขึ้นมาก $\aleph_1$ยังคงสมเหตุสมผล แต่เป็นไปได้ว่ามันเทียบไม่ได้กับ$\mathbb{R}$: อาจเป็นกรณีที่ไม่ฉีดเข้าที่อื่น (ที่น่าสนใจคือ$\mathsf{ZF}$ ไม่พิสูจน์ให้เห็นว่ามีความเป็นsurjectionจาก$\mathbb{R}$ ไปยัง $\omega_1$แต่เราไม่ต้องการเปรียบเทียบขนาดชุดผ่านการผ่าตัด: ไม่เหมือนกับการฉีดยาที่ได้รับการผ่าตัด$A\rightarrow B$ และ $B\rightarrow A$ โดยทั่วไปเราไม่สามารถกู้คืน bijection ได้ $A\leftrightarrow B$ โดยไม่มีความจริงที่เลือก)

ในบริบทที่ไม่มีทางเลือกดังนั้นเราจึงได้รับ "สมมติฐานต่อเนื่องที่อ่อนแอ:" นี่คือสมมติฐานที่ว่าชุดของเรอัลที่นับไม่ได้ทุกชุดอยู่ในการคาดคะเน$\mathbb{R}$. สมมติว่ามีทางเลือกที่เป็นธรรมชาติบางอย่างที่เรามีในความเป็นจริง$\aleph_1$ และ $\mathbb{R}$ ไม่มีใครเทียบได้ แต่สมมติฐานต่อเนื่องที่อ่อนแอนั้นเป็นจริง

โดยสรุปทฤษฎีบทของต้นเสียงแสดงให้เห็นว่าไม่มีการยอมแพ้ $\aleph_0$ ถึง $2^{\aleph_0}$. อย่างไรก็ตามอสมการ$$2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$$ ค่อนข้างลึกกว่านั้น: แม้ว่าเราจะถือว่าสัจพจน์ที่เลือก แต่ก็ต้องใช้งานบางอย่างเพื่อให้ได้มาจากทฤษฎีบทของต้นเสียง (อันที่จริงงานมากกว่าที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของต้นเสียงเอง) และหากไม่มีสัจพจน์ที่เลือกก็อาจเป็นเท็จ (ในขณะที่ทฤษฎีบทของ Cantor ไม่ใช้สัจพจน์ที่เลือก)

ตามความหมาย $\aleph_1$เป็นพระคาร์ดินัลที่นับไม่ได้ที่เล็กที่สุด ต้นเสียงพิสูจน์ให้เห็นแล้ว$\mathbb{R}$ นับไม่ได้ดังนั้น $|\mathbb{R}|$ อย่างน้อยก็ใหญ่เท่ากับพระคาร์ดินัลที่เล็กที่สุดที่นับไม่ได้ดังนั้น $2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$.