Arithmetic Continuum คืออะไร
ฉันเพิ่งลองทำความเข้าใจ Surreal Numbers ในระดับที่มีความหมายมากขึ้น ไปตามทางที่ผมพบนี้คำตอบของคำถามที่เกี่ยวข้อง คำตอบที่เป็นที่ยอมรับและกระดาษที่แนะนำมีคำว่า "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์" และ "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์"
แปลกใจที่ฉันไม่พบหน้าเว็บที่บอกว่าทั้งสองสิ่งนี้คืออะไร พิเศษคืออะไรคือความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์ เอกสารระบุว่า "ระบบจำนวนจริงควรถือเป็นโมดูโลโมดูโลอาร์คิมีดีนต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์" แต่ฉันก็ยังไม่สามารถหาคำจำกัดความได้
แก้ไข
สิ่งสำคัญที่ทำให้ฉันลังเลที่จะเชื่อมั่นในสิ่งที่ฉันคิดว่าคำนี้หมายถึงและมองหาคำจำกัดความที่เป็นทางการคือระดับความรู้ทางคณิตศาสตร์ของฉัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่มั่นใจในความเข้าใจเกี่ยวกับทฤษฎีเซตและทฤษฎีจำนวนมีอะไรมากมายที่ฉันไม่รู้
จากจุดเริ่มต้นของข้อความ Cantor และ Dedeking และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในยุคปัจจุบันเชื่อว่าช่องว่างระหว่างความคลาดเคลื่อนและความต่อเนื่องนั้นเชื่อมโยงกันโดยการสร้าง / การค้นพบจำนวนจริง
ตอนนี้สำหรับส่วนที่ใกล้เคียงที่สุดกับมุมมองของฉันเกี่ยวกับคำจำกัดความ
ในขณะที่ทฤษฎี Cantor-Dedekind ประสบความสำเร็จในการเชื่อมช่องว่างระหว่างโดเมนของเลขคณิตและเรขาคณิตแบบยุคลิดมาตรฐาน แต่ก็เผยให้เห็นเพียงคร่าวๆของทฤษฎีความต่อเนื่องที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นเท่านั้น
ฉันเชื่อว่าคำว่า "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์" หมายถึงโดยเฉพาะอย่างยิ่งสะพานเชื่อมระหว่างคณิตศาสตร์กับเรขาคณิตแบบยูคลิดและสิ่งนี้เหมาะสำหรับฉัน ในแง่นี้ฉันคิดว่าอาจมีระบบคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่ยังมีช่องว่างให้เรขาคณิตแบบยุคลิดหรือเลขคณิต ดังนั้นจึงอาจมี "x ต่อเนื่อง" ที่ไม่มีชื่อเพื่อเชื่อมช่องว่างอื่น ๆ
จากชื่อ "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์" ฉันรู้สึกว่ามันเป็นสะพานเชื่อมระหว่างระบบคณิตศาสตร์และเลขคณิต อย่างไรก็ตามในไม่ช้าในข้อความฉันก็เปลี่ยนใจเนื่องจากทฤษฎีบท 1
ทฤษฎีบท 1. ในขณะที่ $\mathbb{R}$ คือ (ขึ้นอยู่กับ iso- morphism) ฟิลด์คำสั่งของอาร์คิมีดีนสากลที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ไม่ซ้ำกันไม่ใช่คือ (ขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึม) ฟิลด์คำสั่งสากลที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ไม่ซ้ำกัน
ฉันติดตามอ่านวิทยานิพนธ์มาระยะหนึ่ง แต่มันก็ยากขึ้นอย่างรวดเร็วเพราะฉันยังใหม่กับเรื่องนี้ อันที่จริงฉันไม่รู้เรื่องนั้น$\mathbb{R}$เป็นช่องคำสั่งสากลและไม่สามารถบอกได้ว่าฉันรู้แน่ชัดว่าคืออะไร แม้ว่าฉันจะหยุดอ่านกระดาษ แต่ก็ยังสนใจที่จะรู้ว่าชื่อนั้นหมายถึงอะไร ความเข้าใจของฉันในการขอร้องข้อความมาถูกทางหรือไม่หรือคำศัพท์นั้นมีความหมายอื่น? ความหมายอื่นนี้คืออะไรหรือลักษณะสำคัญที่แตกต่างจากเลขคณิตกับความต่อเนื่องที่ไม่ใช่เลขคณิต
คำตอบ
ข้อจำกัดความรับผิดชอบ : ฉันไม่เคยเห็นวลี "arithmetic ต่อเนื่อง" นอกกระดาษของEhrlich The Absolute Arithmetic Continuum and the Unification of All Numbers Great and Small ( preprint ) แต่ฉันเคยเห็นคำคุณศัพท์ "เลขคณิต" และคำนาม "ความต่อเนื่อง" และอ่านส่วนต่างๆของกระดาษเพื่อให้ได้ความหมาย
อย่าลังเลที่จะข้ามส่วน "บริบท" ทั้งหมดหากคุณเพียงต้องการดูว่าฉันมาถึงจุดที่คาดเดาได้ดีที่สุดเกี่ยวกับเจตนาของ Ehrlich ตามเอกสารนี้อย่างไร และข้ามไปยังจุดสิ้นสุดหากคุณต้องการเดา
บริบท
"เลขคณิต"
คำคุณศัพท์ "เลขคณิต" มีความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อย (เช่นเซตเป็นเลขคณิตหากสามารถกำหนดได้ในPeano Arithmetic ) แต่ทั้งหมดจะกลายเป็น"เกี่ยวข้องกับเลขคณิต " นั่นคือการเชื่อมต่อกับการดำเนินการพื้นฐานเช่นการบวกการคูณและการลบและการหาร
บางครั้ง "เลขคณิต" จะแตกต่างจาก / จับคู่กับ "เรขาคณิต" เช่นเดียวกับ " ค่าเฉลี่ยเลขคณิต " เทียบกับ " ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต "
สะพานเชื่อมระหว่างเลขคณิตและเรขาคณิตแบบยุคลิด
ถ้ามีคนถามฉันว่าสะพานนั้นคืออะไรฉันจะบอกว่าเครื่องบินคาร์ทีเซียนไม่ใช่อะไรที่เหมือนกับการยอมแพ้
และเมื่อฉันคิดของสะพานเชื่อมระหว่างสิ่งที่เลขคณิตและเรขาคณิตบางสิ่งบางอย่างทำให้ผมนึกถึงของมัชฌิมเลขคณิตเรขาคณิต คำว่า "เลขคณิต" ของตัวมันเองไม่ได้บ่งบอกถึงสิ่งนั้นสำหรับฉัน
"ความต่อเนื่อง"
ความหมายของ "ต่อเนื่อง" นั้นยากกว่าเล็กน้อยในการปักหมุด โดยทั่วไปแล้วความต่อเนื่องจะเชื่อมต่อกับสิ่งต่างๆเช่น "ต่อเนื่อง" ซึ่งตรงข้ามกับไม่ต่อเนื่อง
ตัวอย่างเช่นแบบจำลองของฟิสิกส์อาจบอกว่ามีค่าต่อเนื่องสำหรับการวัดเช่นความยาวคลื่นของแสงเลเซอร์ มันเกิดขึ้นในวลีกลศาสตร์ต่อเนื่องที่ใช้แคลคูลัสและอนุภาค / อะตอมของร่างกายแต่ละตัวจะถูกละเว้น คุณอาจเคยได้ยินเรื่อง " the space-time ต่อเนื่อง "
ที่มีชื่อเสียงในสมมติฐาน continuum "ความต่อเนื่อง" หมายถึงจำนวนจริงหรือบางทีอาจจะของcardinality
การสรุปจากค่าเรียลเราจะได้รับความต่อเนื่องเชิงเส้นซึ่งเป็นชุดที่มีลำดับเชิงเส้นที่แชร์คุณสมบัติความสมบูรณ์ของDedekindและความหนาแน่นของรีอัล ในทำนองเดียวกันผู้ที่มีโทโพโลยีการสั่งซื้อแบ่งปันความเชื่อมโยงของความจริง
ลักษณะทั่วไปที่แตกต่างจากช่วงเวลาปิดของจริงคือแนวคิดทั่วไปของความต่อเนื่องในโทโพโลยี มันเป็นความว่างขนาดกะทัดรัด ที่เชื่อมต่อ พื้นที่ตัวชี้วัดหรือบางทีอาจจะมากขึ้นโดยทั่วไปหมายใด ๆที่มีขนาดกะทัดรัด ที่เชื่อมต่อ พื้นที่ดอร์ฟ นี่คือสิ่งที่แท็ก [ทฤษฎีต่อเนื่อง]อ้างถึง
โปรดทราบว่า surreals ไม่ได้เชื่อมต่อภายใต้โครงสร้างคำสั่ง (เช่นมีช่องว่างในบางครั้งแสดงว่า "$\infty$"ระหว่างจำนวน surreals ที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มากกว่าจำนวนเต็มและจำนวนส่วนเกินอื่น ๆ ทั้งหมด) ดังนั้นคำจำกัดความของ" ความต่อเนื่อง "เหล่านี้จะไม่มีผลบังคับใช้
ความหมาย
กำลังค้นหาวลี
ในเนื้อความหลักของกระดาษ (พิมพ์ล่วงหน้า) ดังนั้นไม่นับชื่อเรื่องชื่ออ้างอิงบทคัดย่อบทนำหรือชื่อส่วนวลี "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์" จะปรากฏเพียงสามครั้งเราจึงสามารถตรวจสอบได้ทั้งหมด :
มันเป็นสิ่งนี้ร่วมกับทฤษฎีบท 1 และผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกจำนวนหนึ่ง (ดู [Ehrlich 1992, เตรียมพร้อม 1]) ที่แนะนำโดยธรรมชาติว่า $\mathbf{No}$ อาจถือได้ว่าเป็นความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ (modulo $\mathrm{NBG}$)
...
ในขณะที่ทฤษฎีบท 1 และ 3 อาจกล่าวได้ว่าเป็นลักษณะ $\mathbf{No}$ ในฐานะที่เป็นความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ทฤษฎีบท 13 อาจกล่าวได้ว่าเป็นลักษณะ $\mathbf{No}$ เป็น $s$- ลำดับชั้นต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์แน่นอน
คำพูดแรกปรากฏขึ้นไม่นานหลังจาก Theorem 3 และการอ้างอิง Theorem 1 และคำพูดที่สองอ้างอิง Theorems 1 และ 3 ดังนั้นเราควรตรวจสอบทฤษฎีเหล่านั้นและคำจำกัดความที่อ้างอิง
ทฤษฎีบทและคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 1 (Ehrlich 1988; 1989; 1989a; 1992) ในขณะที่$\mathbb R$คือ (ขึ้นอยู่กับ isomorphism) ฟิลด์คำสั่งของอาร์คิมีดีนสากลที่เป็นเนื้อเดียวกัน $\mathbf{No}$คือ (กับมอร์ฟ) ไม่ซ้ำกันเป็นเนื้อเดียวกันข้อมูลสากลสั่งซื้อ${\!}^{4}$
...
${\!}^{4}\!$ สำหรับวัตถุประสงค์ของบทความนี้ฟิลด์ที่สั่งซื้อ (ฟิลด์คำสั่งของอาร์คิมีดีน) $A$ได้รับการกล่าวว่าเป็นเอกภาพที่เป็นเนื้อเดียวกันหากเป็นสากล - ทุกเขตข้อมูลที่ได้รับคำสั่ง (เขตข้อมูลที่ได้รับคำสั่งจากอาร์คิมีดีน) ซึ่งจักรวาลเป็นชั้นของ$\mathrm{NBG}$ สามารถฝังใน $A$- และมันเป็นเนื้อเดียวกัน - ไอโซมอร์ฟิซึมทุกตัวระหว่างฟิลด์ย่อยของ$A$ ซึ่งจักรวาลเป็นเซตสามารถขยายไปยังระบบอัตโนมัติของ $A$.
...
สัญกรณ์ "$L<R$"แสดงว่าสมาชิกทุกคนของ $L$ นำหน้าสมาชิกทุกคน $R$...
คำจำกัดความ 1 (Ehrlich 1987) คลาสสั่งซื้อ$\langle A,<\rangle$จะกล่าวได้ว่าเป็นความต่อเนื่องเชิงเส้นแน่นอนถ้าสำหรับเซตย่อยทั้งหมด$L$ และ $R$ ของ $A$ ที่ไหน $L<R$ มี $y\in A$ ดังนั้น $L<\{y\}<R.$
...
ทฤษฎีบท 2 (Ehrlich 1988).$\langle\mathbf{No},<\rangle$ คือ (ขึ้นอยู่กับ isomorphism) ความต่อเนื่องเชิงเส้นสัมบูรณ์ที่เป็นเอกลักษณ์
...
ทฤษฎีบท 3 (Ehrlich 1988).$\mathbf{No}$ คือ (ขึ้นอยู่กับ isomorphism) ฟิลด์คำสั่งปิดจริงที่ไม่ซ้ำกันซึ่งเป็นความต่อเนื่องเชิงเส้นสัมบูรณ์
ฟิลด์ที่เรียงลำดับจะปิดจริงถ้าและเฉพาะในกรณีที่ยอมรับว่าไม่มีส่วนขยายไปยังฟิลด์คำสั่งที่รวมไว้มากขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากการเสริมฟิลด์ด้วยคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ ...$\mathbf{No}$ ไม่เพียง แต่จัดแสดงการไล่ระดับตามลำดับตามทฤษฎีเกี่ยวกับพีชคณิตและเซต - ทฤษฎีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่สอดคล้องกับโครงสร้างของมันในรูปแบบฟิลด์ที่ได้รับคำสั่งเท่านั้น แต่ยังอยู่ในโครงสร้างที่เป็นเอกลักษณ์ของไอโซมอร์ฟิซึม มันเป็นสิ่งนี้ร่วมกับทฤษฎีบท 1 ... ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ ...
จากที่กล่าวมา "ความต่อเนื่องเชิงเส้นสัมบูรณ์" มีคุณสมบัติความหนาแน่นของเวอร์ชันที่ปรับปรุงแล้วซึ่ง "ความต่อเนื่องเชิงเส้น" ตามปกติมี และ$\mathbf{No}$เรียกว่า "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์" เนื่องจากยังมีคำตอบสำหรับพหุนามจำนวนมาก (ซึ่งเกี่ยวข้องกับเลขคณิตมากกว่าคำสั่งเชิงเส้น) เนื่องจากช่องคำสั่งสามารถทำได้เนื่องจากเป็นฟิลด์ปิดจริง
"(สัมบูรณ์) เลขคณิตต่อเนื่อง"
ในขณะที่มันไม่ได้สะกดออกมาอย่างชัดเจนในบทความนี้ผมคิดว่า "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์" อาจหมายถึงข้อมูลที่แท้จริงปิดที่มีโครงสร้างเพื่อเป็นที่ของความต่อเนื่องเชิงเส้น ($\mathbb R$ เป็นสิ่งที่ไม่เหมือนใครขึ้นอยู่กับ isomorphism)
และ "ความต่อเนื่องทางคณิตศาสตร์แน่นอน" เกือบจะแน่นอนระดับ -sized ข้อมูลแบบ real-ปิดในNBGที่มีโครงสร้างการสั่งซื้อ$\langle A,<\rangle$ คือ "ความต่อเนื่องเชิงเส้นสัมบูรณ์" ซึ่งหมายความว่าถ้า $L$ และ $R$ คือชุดและทุกองค์ประกอบของ $L$ น้อยกว่าทุกองค์ประกอบของ $R$แล้วเราจะพบ $y\in A$ ดังนั้น $\ell<y$ และ $y<r$ เพื่อทุกสิ่ง $\ell\in L$ และ $r\in R$. ($\mathbf{No}$ เป็นสิ่งที่ไม่เหมือนใครขึ้นอยู่กับ isomorphism)