บน 1D Quantum Mechanics Harmonic Oscillator

Question

ฉันกำลังแก้ P. 2.41 ของ Introduction to Quantum Mechanics ของ Griffiths

ไม่มีอะไรใหม่จริงๆจนกว่าฉันจะอ่านวิธีแก้ปัญหาที่เสนอ (จากตัวของ Griffiths) สำหรับปัญหาที่ระบุว่าฉันสามารถเขียนฟังก์ชันได้ $\Psi$ ซึ่งเป็นการรวมเชิงเส้นของสามสถานะแรก $\Psi_0$, $\Psi_1$ และ $\Psi_2$ เช่น

$$\Psi(x,t) = \sum\limits_{n=0}^2 c_n \Psi_n e^{-iwt(n+1/2)}$$

ที่ไหน $c_n$และ $\Psi_n$เป็นที่รู้จัก

คำถาม : ทำไมฉันจึงเป็นตัวแทนของไฟล์$\Psi$ wavefunction ในฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์แบบนี้?

Answer 1

eigenstates $\Psi_n$ ของฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์คือพหุนาม Hermite (ที่มีน้ำหนักเกาส์) ซึ่งเป็นชุดที่สมบูรณ์และคุณสามารถเขียนสถานะเริ่มต้นใด ๆ $$\Psi(x,0) = \sum_{n=0}^\infty c_n \Psi_n(x),$$ และแก้ปัญหาสำหรับ $c_n$s. เมื่อคุณทำสิ่งนี้เสร็จแล้วคุณเพียงแค่ต้องจัดการกับการพึ่งพาเวลาสำหรับแต่ละรัฐเฉพาะ (ของแบบฟอร์ม$e^{-iE_n/\hbar t }$) ซึ่งให้โซลูชันที่สมบูรณ์แก่คุณ

คำถามที่น่าสนใจคือทำไมเราไม่ต้องการมากกว่าสาม $\Psi_n$ที่จะเขียนจริง $\Psi(x,0)$. สาเหตุที่เป็นเช่นนั้นก็เพราะว่า$\Psi(x,0)$ มีพหุนามดีกรี 2 อย่างที่คุณเห็นไม่มีพลังของ $x$ มากกว่า $x^2$มีอยู่ในนั้น ด้วยเหตุนี้จึงต้องแสดงออกได้เป็นการรวมเชิงเส้นของพหุนาม Hermite ทั้งหมดที่มีดีกรีไม่เกิน 2 นั่นคือ$\Psi_0(x), \Psi_1(x)$และ $\Psi_2(x)$!

(คล้ายกับการบอกว่าพหุนามดีกรีใด ๆ $m$ สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของทั้งหมด $x^n$, ที่ไหน $n=0,\dots m $.)