บนต้น Suslin ปกติ

Question

ฉันกำลังอ่านหนังสือ "Set Theory" ของ Jech ในส่วนที่เกี่ยวกับต้นไม้ Suslin ใน Lemma 9.13 เขาพิสูจน์ว่าถ้ามีต้น Suslin อยู่แสดงว่ามีต้น Suslin ปกติอยู่

ถ้า $T$ เป็นต้นไม้ที่มีความสูงปกติ $\alpha$แล้วโดยเฉพาะอย่างยิ่งมันเป็นไปตามนั้น

สำหรับใด ๆ $x\in T$ และ $height(x)<\beta<\alpha$, มีอยู่ $y>x$ ดังนั้น $height(y)=\beta$.

แต่มันก็ดูแปลกสำหรับฉันเพราะคุณสมบัตินี้ดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่าโดยการเหนี่ยวนำการเปลี่ยนแปลงการดำรงอยู่ของโซ่ที่มีความสูงเท่ากัน $T$. แต่ถ้าเป็นเช่นนั้นจริงก็ไม่ควรจะเป็นต้น Suslin ธรรมดาเนื่องจากต้น Suslin ทุกต้นมีความสูง$\omega_1$และไม่มีโซ่นับไม่ได้ ฉันขาดอะไรไปที่นี่?

Answer 1

คุณไม่มีระยะ จำกัด แน่นอนว่าหากสาขามีความยาวต่อเนื่อง (เช่นมีองค์ประกอบสูงสุด) คุณสามารถขยายระดับต่อไปได้สำหรับ$\omega$ขั้นตอนมากขึ้น แต่คุณจะรู้ได้อย่างไรว่าจะดำเนินต่อไปหลังจากนั้น? สำหรับทุกโหนดในสาขาจะมีโหนดอยู่เหนือระดับที่ จำกัด ถัดไป แต่ไม่ได้หมายความว่าคุณสามารถบอกได้ว่ามีโหนดอยู่เหนือสาขาทั้งหมด

สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นของต้นไม้ที่มีความสูง $\omega_1$ และคุณสมบัตินี้ แต่ไม่มีสาขาของความยาว $\omega_1$พิจารณาโครงสร้างของฟังก์ชันจากลำดับที่นับได้ถึง $\omega$ ที่เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งและมีช่วงไม่มีที่สิ้นสุดร่วมกัน