Certainty Equivalent เป็นลบได้หรือไม่?

Question

ฉันกำลังตั้งคำถามว่า CE ของลอตเตอรีสามารถเป็นลบได้หรือไม่? สำหรับฉันมันไม่สมเหตุสมผลเท่าไหร่นักตามคำจำกัดความ

ฉันพบปัญหานี้ในแบบฝึกหัดต่อไปนี้:

ลองนึกภาพกรณีที่เรามีลอตเตอรี (เช่น EuroMillions) ที่มีตั๋วราคา 2.5 ยูโร จากการก่อสร้างเราชนะ€ 13m ด้วยความน่าจะเป็นที่ 1 / 139,838,160 และเราได้รับความน่าจะเป็น (1-1 / 139,838,160)

ลองนึกภาพว่าฟังก์ชันยูทิลิตี้คือ $U(x)=-e^{(-x)}$.

ฉันคำนวณ CE ตามที่คุณพบในภาพ คิดผิดหรือเปล่า ฉันจะตีความได้อย่างไร?

สำหรับการจับสลากที่มีเงินรางวัล€ 13m และปล่อยให้ $n=139,838,160$: $$U(x) = \left(\frac{1}{n} \cdot e^{-(13,000,000-2.5)}\right) + \left(\frac{n-1}{n} \cdot e^{-(-2.5)}\right) = -12.182$$ ดังนั้น \begin{align*} U(CE)=-e^{-CE}&=-12.182\\ \ln\left(e^{-CE}\right)&=\ln(12.182)\\ CE&=-2.49999 \end{align*}

ฉันหวังว่ามันจะชัดเจน ขอบคุณมาก!

Answer 1

หากคุณเริ่มต้นด้วย€ 0 ความแน่นอนเทียบเท่ากับการเสีย€ 2.5 พร้อมความน่าจะเป็น 1 คือ - 2.5

โดยพื้นฐานแล้วการออกกำลังกายของคุณจะขอให้คุณคำนวณความแตกต่างของการชนะลอตเตอรีด้วยความน่าจะเป็นเพียงเล็กน้อย ให้ฟังก์ชันยูทิลิตี้นี้ไม่มาก