ชุดตัวเลขสุ่มจริง
พิจารณาการทดสอบแบบกรีดสองชั้น หากเราวัดตำแหน่งของอิเล็กตรอนบนหน้าจอหลายครั้งเราจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน แต่ถ้าเราทำการทดลองซ้ำหลาย ๆ ครั้งเราจะได้ฮิสโตแกรมที่ดีซึ่งมาบรรจบกัน (ทำให้เรียบขึ้น) เมื่อทำการทดลองมากขึ้น ดังนั้นตัวเลขที่ได้จากกระบวนการสุ่มนี้จึงไม่ใช่การสุ่มอย่างแท้จริง จากข้อความข้างต้นฉันหมายความว่าชุดของตัวเลขทั้งหมดให้ฮิสโตแกรมที่ราบรื่น หากไม่ถือว่ากฎของจักรวาลเป็นสิ่งที่ดีเราสามารถจินตนาการถึงสถานการณ์ที่ฮิสโตแกรมไม่ได้มาบรรจบกันจริง ๆ แต่เปลี่ยนแปลงไปเรื่อย ๆ ฉันจะทำให้ความคิดนี้ชัดเจนทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร หลักสูตรความน่าจะเป็นที่ฉันศึกษามักจะถือว่าการแจกแจงของตัวเลขก่อนที่จะทำอะไร
เพื่ออธิบายสิ่งที่ฉันคิดให้เข้าใจตัวอย่างนี้ ฉันสามารถพลิกเหรียญและพบว่าหลังจากพลิก 10 ครั้งฉันได้หัว 85% จากนั้นหลังจากพลิก 100 ครั้งฉันได้หัว 65% หลังจากพลิก 1,000 ครั้งฉันได้หัว 95% หลังจากพลิก 10,000 ครั้งฉันได้รับหัว 15% เป็นต้น ต้องการพูดถึงสถานการณ์ที่เศษส่วนไม่บรรจบกัน
ขออภัยหากคำถามคลุมเครือ แม้ว่าฉันจะไม่ชัดเจนในสิ่งที่ฉันกำลังมองหาดังนั้นฉันจึงถามว่ามีการรักษาความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ที่ฮิสโตแกรมไม่บรรจบกันหรือไม่ หากคำถามไม่เหมาะกับไซต์นี้ใครช่วยแนะนำไซต์สแต็กที่ถูกต้องได้ไหม
คำตอบ
การตีความคำว่า "random" ของคุณไม่สอดคล้องกับความหมายของ "random" ในคณิตศาสตร์ แต่ดูเหมือนว่าคุณกำลังใช้มันมากขึ้นตามแนว "ตามอำเภอใจ" และกำลังมองหาลำดับที่ไม่มี "พฤติกรรมโดยรวม" ที่มีความหมายตามแนวกฎหมายจำนวนมาก นี้ถูกจับแน่นอนโดยความคิดทางคณิตศาสตร์คือgenericity
เพื่อให้เข้าใจถึงความเป็นสามัญอันดับแรกเราควรคิดใหม่เกี่ยวกับการสุ่ม: แทนที่จะพิจารณาภาพ "ไดนามิก" เราสามารถนึกถึงลำดับของ (พูด) $0$s และ $1$s เป็น (การขยายฐานสองของ) จุดเข้า $[0,1]$. คุณสมบัติของลำดับสุ่มสอดคล้องกับเซตของการวัดเต็มเช่นเซตของลำดับที่เป็นไปตามกฎของจำนวนมากมีการวัดเต็มหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าชุดของลำดับที่ไม่เป็นไปตามกฎนั้นเป็นโมฆะ
ที่จริงมากกว่า $[0,1]$เราควรอาศัยอยู่ในCantor space - ลองนึกถึง dyadic reals ซึ่งมีการขยายไบนารีสองส่วน นี่ไม่ใช่ปัญหาใหญ่ แต่เนื่องจากตัวจริงเหล่านั้นไม่สุ่ม นอกจากนี้เพื่อความเรียบง่ายฉันใช้สิทธิพิเศษการแจกแจงแบบหนึ่งที่นี่ - การแจกแจงแบบทวินาม - แต่ภาพทั่วไปเหมือนกัน: การแจกแจงอื่น ๆ สอดคล้องกับมาตรการอื่นที่ไม่ใช่การวัด Lebesgue
สำหรับ genericity เราเปลี่ยนความสนใจจากมาตรการหมวดหมู่ (หมายเหตุว่าเรื่องนี้ไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีประเภท ) โดยเฉพาะเราแทนที่ "วัดเต็มรูปแบบ" กับ " comeager " - พฤติกรรมทั่วไปสอดคล้องกับชุด comeager ตัวอย่างเช่นชุดของลำดับที่ไม่เป็นไปตามกฎของจำนวนมากเป็นผู้มา
เนื่องจากหมวดหมู่มักจะลึกลับมากกว่าการวัดเรามาพิสูจน์ประโยคสุดท้ายกัน ลำดับไบนารีที่ จำกัด ใด ๆ$s$ มีส่วนขยาย $t$ เช่นนั้น (พูด) $99\%$ ของบิตของ $t$ คือ $0$: ใช้เวลา $s$ และ "ตรึงบน" สตริงของ $0$s ซึ่งก็คือ $99$ นานกว่า $s$. ในทำนองเดียวกันลำดับไบนารีที่ จำกัด ใด ๆ$s$ มีส่วนขยาย $t$ ดังนั้น $99\%$ ของบิตของ $t$ คือ $1$. ตอนนี้สำหรับ$n\in\mathbb{N}$ ปล่อย $A_n$เป็นชุดของลำดับไบนารีที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งไม่มีคำนำหน้าของความยาว$>n$ และซึ่งประกอบด้วย $99\%$ ของ $0$และปล่อยให้ $B_n$เป็นชุดของลำดับไบนารีที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งไม่มีคำนำหน้าของความยาว$>n$ และซึ่งประกอบด้วย $99\%$ ของ $1$เอส. จากการสังเกตข้างต้นทั้งหมด$A_n$s และ $B_n$s ไม่มีที่ไหนหนาแน่นและเป็นผลให้เซต $X$ ของลำดับที่ไม่ได้อยู่ในไฟล์ $A_n$s หรือ $B_n$s เป็นผู้มา แต่ลำดับใด ๆ ใน$X$ ละเมิดกฎหมายจำนวนมากอย่างยิ่งคำนำหน้าจำนวนมากคือ "ส่วนใหญ่ $0$s "และคำนำหน้าจำนวนมากเป็น" ส่วนใหญ่ $1$เอส "
น่าเสียดายที่หมวดหมู่มีความประพฤติดีน้อยกว่าการวัดมาก การวัดคือการไล่ระดับ : เรามีหน่วยวัดเต็มและวัดเป็นศูนย์ แต่ยังมีขนาดกลางอีกมากมาย ในทางตรงกันข้ามไม่มีอะไรที่เหมือนกับที่มีอยู่จริงสำหรับหมวดหมู่ ในที่สุดทฤษฎีการบูรณาการทั้งหมดจะเน้นที่การวัดมากกว่าหมวดหมู่และไม่มีอะนาล็อกตามหมวดหมู่ที่แท้จริง ดังนั้นความจริงที่ว่าการทั่วไปจะได้รับการโฟกัสน้อยกว่าการสุ่มโดยทั่วไปจึงไม่ได้เกิดขึ้นโดยพลการ
(ในทางกลับกันความเป็นสามัญมีความหมายในช่องว่างทอพอโลยีตามอำเภอใจในขณะที่การวัดไม่ได้ดังนั้นข้างต้นจึงไม่ยุติธรรมจริงๆ แต่ในบริบทของ $\mathbb{R}$ และความคิดที่อิงตามการวัดโดยทั่วไปจะดีกว่าแนวคิดที่อิงตามหมวดหมู่)
เมื่อลงท้ายด้วยบันทึกตลกให้นึกถึงคำอธิบายของรัสเซลเกี่ยวกับนรกของนักปรัชญา:
มีห้องที่เจ็บปวดอย่างแปลกประหลาดซึ่งอาศัยอยู่โดยนักปรัชญาที่ข้องแวะกับฮูม นักปรัชญาเหล่านี้แม้ว่าจะอยู่ในนรก แต่ก็ไม่ได้เรียนรู้ภูมิปัญญา พวกมันยังคงถูกควบคุมโดยความชอบของสัตว์ที่มีต่อการชักนำ แต่ทุกครั้งที่มีการเหนี่ยวนำตัวอย่างถัดไปจะปลอมแปลงมัน อย่างไรก็ตามสิ่งนี้เกิดขึ้นเฉพาะในช่วงร้อยปีแรกของการสาปแช่งของพวกเขา หลังจากนั้นพวกเขาเรียนรู้ที่จะคาดหวังว่าการชักนำจะถูกปลอมแปลงดังนั้นจึงไม่มีการปลอมแปลงจนกว่าการทรมานทางตรรกะอีกศตวรรษหนึ่งได้เปลี่ยนแปลงความคาดหวังของพวกเขา ความประหลาดใจตลอดชั่วนิรันดร์ดำเนินต่อไป แต่ทุกครั้งที่ระดับตรรกะที่สูงขึ้น
Genericity เป็นอย่างนั้นมาก: "รูปแบบโดยรวม" จะปรากฏขึ้นและคงอยู่ ... แล้วก็กลับด้าน ลำดับทั่วไปอาจเริ่มมองหา "เป็นส่วนใหญ่$0$s "แล้ว" เป็นส่วนใหญ่ $1$s "จากนั้นกระจายแบบสุ่มและอื่น ๆ ในทางตรงกันข้ามลำดับแบบสุ่มอย่างน้อยก็" คาดเดาไม่ได้ "
ให้ฉันพูดถึงโคด้าขั้นสุดท้าย โดยสัญชาตญาณลำดับจะเป็นแบบ "สุ่มจริงๆ" หากไม่ได้อยู่ในเซตศูนย์ที่ "อธิบายได้ง่าย ๆ " และเป็น "แบบทั่วไป" หากไม่ได้อยู่ในชุดที่ "อธิบายได้ง่าย" ใด ๆ (มันเป็นไปไม่ได้ที่จะหลีกเลี่ยงทุกวัดที่เป็นศูนย์หรือน้อยชุด - เรามักจะมี$x\in\{x\}$และชุดซิงเกิลตันทุกชุดมีค่าเป็นศูนย์และมีค่าน้อยดังนั้นแนวคิดคือการหลีกเลี่ยงสิ่งที่ไม่ "โง่" อย่างใด)แนวคิดนี้ได้รับการกำหนดไว้ล่วงหน้าในตรรกะทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีความสามารถในการคำนวณและทฤษฎีเซต รายละเอียดเป็นเรื่องเทคนิคมากเกินไปที่จะเข้าไปที่นี่ แต่ก็น่าสังเกตว่าในความเป็นจริงสามารถพัฒนาได้ดี
ตามความหมายในการสุ่มคุณต้องมีชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และการวัดความน่าจะเป็นที่อธิบายว่าแต่ละองค์ประกอบของเซตมีความเป็นไปได้เพียงใด ด้วยวิธีนี้ตัวแปรสุ่มทั้งหมดมีโครงสร้างบางอย่าง ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งจะเป็นแบบสุ่ม แต่ถ้าคุณทำการทดลองหลายครั้งไม่สิ้นสุดความถี่ของการเกิดที่แตกต่างกันจะมาบรรจบกันตามโครงสร้างที่กำหนดเสมอ
คุณสามารถพยายามกำจัดโครงสร้างดังกล่าว แต่คุณจะพบปัญหาอย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่นการมีจำนวนบวกแต่ละจำนวนเกิดขึ้นโดยมีความน่าจะเป็นเท่ากันโดยไม่มีขีด จำกัด บนก็เป็นปัญหาสำหรับจำนวนใหญ่ใด ๆ$M$ความยาวของส่วน $[0, M]$ มีข้อ จำกัด ในขณะที่ $[M, \infty)$ ไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นคุณจึงรับประกันได้ว่าจะได้ตัวเลขที่มากกว่า $M$. ไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหน$M$ คือ.
ที่กล่าวว่ามีการแจกแจงมากมายและหลากหลาย พิจารณาการแจกแจงแบบ Cauchyพร้อมฟังก์ชันความหนาแน่นในรูปแบบที่ง่ายที่สุด$f(x)=\frac{1}{1 + x^2}$
เมื่อวาดตัวอย่างจากการแจกแจงนี้โหมดของคุณจะอยู่ที่ 0 และถ้าคุณจับสลากและสุ่มตัวอย่างจำนวนมากคุณจะมีตัวอย่างใกล้ 0 มากกว่าค่าใกล้ 1 เป็นสองเท่าและฮิสโตแกรมจะเป็นรูปทรงระฆังที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ 0 (แม้ว่าจะลดลงช้ากว่าปกติมาก)
อย่างไรก็ตามการแจกแจงของ Cauchy ไม่มีค่าเฉลี่ย ถ้าคุณพยายามคำนวณด้วยอินทิกรัลอินทิกรัลจะแตกต่างกัน และถ้าคุณวาด$n$ ตัวอย่างและค่าเฉลี่ยคุณจะได้รับจำนวนที่แตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญในแต่ละครั้ง - ตัวเองเป็นตัวแปรสุ่มของ Cauchy
บางส่วนตอบสนองคำถามของคุณ ฮิสโตแกรมจะมาบรรจบกับเส้นโค้งการกระจาย แต่ค่าเฉลี่ยหลังจาก 100 ตัวอย่างอาจแตกต่างจากค่าเฉลี่ยหลัง 1,000 และหลังจาก 10,000 ตัวอย่างมาก
เกี่ยวกับสิ่งที่เป็นฮิสโตแกรมดูเหมือนคุณจะถามว่า "บางสิ่งที่สุ่มมาบรรจบกันเป็นสิ่งที่กำหนดได้อย่างไร"
ฉันคิดว่านี่เป็นคำถามที่ดีมาก
สิ่งแรกที่คุณสามารถทำได้เพื่อพยายามทำความเข้าใจเรื่องนี้คือศึกษาข้อพิสูจน์ของกฎที่อ่อนแอของจำนวนมากโดยอาศัยความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev คุณธรรมอย่างหนึ่งคือการหาค่าเฉลี่ยทำให้เกิดการรบกวนแบบสุ่มเล็ก ๆ (และเป็นอิสระ) มากมายเพื่อยกเลิกซึ่งกันและกัน ในทางคณิตศาสตร์ดูเหมือนว่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยจะเป็นศูนย์
มีตัวอย่างอื่น ๆ อีกมากมายของปรากฏการณ์นี้ - สิ่งที่เกี่ยวข้องกับคำถามของคุณมากที่สุดคือทฤษฎีบทข้อ จำกัด กลาง
เกี่ยวกับว่าตัวเลขจากการทดสอบเป็นแบบ 'สุ่มอย่างแท้จริง:'
ผมขอแนะนำให้คุณดูทฤษฎีหลอก นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ได้ทำงานอย่างหนักเพื่อทำความเข้าใจวิธีการเรียกใช้อัลกอริธึมแบบสุ่มด้วยบิตสุ่มแบบสุ่มที่ไม่สมบูรณ์และสิ่งนี้ได้นำไปสู่ข้อมูลเชิงลึกมากมายเกี่ยวกับ 'ธรรมชาติ' ของการสุ่ม
สิ่งนี้ให้ภาพรวมระดับสูงที่ดี: https://www.ias.edu/ideas/2009/wigderson-randomness-pseudorandomness
ให้ฉันอ้างจากบทความด้านบน:
"มุมมองเชิงคำนวณของการสุ่ม: ในการตอบคำถามที่ถามซ้ำ ๆ ข้างต้นเราต้องศึกษาวัตถุสุ่มที่แพร่หลายของเราอย่างรอบคอบนั่นคือการโยนเหรียญเป็นการสุ่มหรือไม่ความเข้าใจที่สำคัญของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีคือคำตอบขึ้นอยู่กับใคร (หรือข้อใด ใช้มัน! เพื่อสาธิตสิ่งนี้เราจะทำการทดลอง (ทางจิต) สองสามครั้งลองนึกภาพว่าฉันถือเหรียญ (ยุติธรรม) ไว้ในมือและหนึ่งวินาทีหลังจากที่ฉันโยนมันขึ้นไปในอากาศคุณขณะที่คุณกำลังเฝ้าดูฉัน ควรจะเดาผลลัพธ์เมื่อมันตกลงบนพื้นความน่าจะเป็นที่คุณจะเดาถูกคืออะไร 50-50 คุณพูดฉันเห็นด้วยตอนนี้ให้พิจารณาตัวแปรของการทดสอบเดียวกันซึ่งความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือคุณ สามารถใช้แล็ปท็อปช่วยคุณได้ความน่าจะเป็นที่คุณจะเดาถูกตอนนี้คือเท่าไหร่ฉันแน่ใจว่าคุณจะพูดว่า 50-50 อีกครั้งและฉันจะตกลงอีกครั้งแล็ปท็อปจะช่วยได้อย่างไร แต่ถ้าแล็ปท็อปของคุณเชื่อมต่อกับ ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ซึ่งเชื่อมต่อกับแบตเตอรี่ของเครื่องบันทึกวิดีโอและอุปกรณ์อื่น ๆ รอบห้อง? ตอนนี้คุณมีโอกาสทายถูกแค่ไหน? แน่นอน 100 เปอร์เซ็นต์ มันเป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับเครื่องจักรนี้ในการคำนวณข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดในหนึ่งวินาที: ความเร็วทิศทางและโมเมนตัมเชิงมุมของเหรียญระยะทางจากมือของฉันถึงพื้นความชื้นในอากาศ ฯลฯ และให้ผลลัพธ์กับคุณด้วย ความแน่นอน
การโยนเหรียญยังคงเหมือนเดิมในการทดลองทั้งสามครั้ง แต่ผู้สังเกตเปลี่ยนไป ความไม่แน่นอนเกี่ยวกับผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับผู้สังเกต ความสุ่มอยู่ในสายตาของผู้มองหรือแม่นยำกว่าในความสามารถในการคำนวณ เช่นเดียวกันหากเราโยนเหรียญจำนวนมาก: ผลลัพธ์ที่ไม่แน่นอนสำหรับผู้สังเกตการณ์ / แอปพลิเคชันนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการประมวลผล ดังนั้นปรากฏการณ์ (ไม่ว่าจะเป็นธรรมชาติหรือเทียม) จึงถือว่า“ สุ่มเพียงพอ” หรือหลอกๆหากกลุ่มผู้สังเกตการณ์ / แอปพลิเคชันที่เราสนใจไม่สามารถแยกความแตกต่างจากการสุ่มได้! มุมมองนี้ได้รับการพัฒนาโดย Manuel Blum, Shafi Goldwasser, Silvio Micali และ Andrew Yao ในช่วงต้นทศวรรษที่ 1980 นับเป็นจุดเริ่มต้นที่สำคัญจากมุมมองเก่า ๆ และนำไปสู่ความก้าวหน้าครั้งสำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ซึ่งสาขาการเข้ารหัสเป็นเพียงสาขาเดียว อีกประการหนึ่งคือความเข้าใจที่ดีมากเกี่ยวกับพลังของการสุ่มในอัลกอริทึมความน่าจะเป็นเช่น "วิธีมอนติคาร์โล" พวกเขาต้องการการสุ่มจริง ๆ หรือมีขั้นตอนการกำหนดที่มีประสิทธิภาพเท่าเทียมกันในการแก้ปัญหาโมโนเมอร์ - ไดเมอร์และพี่น้องจำนวนมากหรือไม่? น่าแปลกที่ตอนนี้เรามีหลักฐานที่ชัดเจนสำหรับเรื่องหลังซึ่งบ่งชี้ถึงจุดอ่อนของการสุ่มในการตั้งค่าอัลกอริทึมดังกล่าว ทฤษฎีบทของ Russell Impagliazzo และ Wigderson แสดงให้เห็นว่าการสมมติว่าปัญหาการคำนวณตามธรรมชาติเป็นเรื่องที่ว่ายาก (สิ่งที่มีความเชื่ออย่างกว้างขวางและเกี่ยวข้องกับการคาดเดา P = / NP) การสุ่มไม่มีอำนาจในการเพิ่มประสิทธิภาพของอัลกอริทึม! อัลกอริธึมความน่าจะเป็นทุกแบบสามารถถูกแทนที่ด้วยตัวกำหนดที่มีประสิทธิภาพใกล้เคียงกัน กุญแจสำคัญในการพิสูจน์คือการสร้างเครื่องกำเนิดไฟฟ้าหลอกที่สร้างลำดับที่แยกไม่ออกจากการสุ่มโดยอัลกอริทึมเหล่านี้ "
เอกสารที่หนาแน่นในหัวข้อนี้หากคุณสนใจที่จะเรียนรู้รายละเอียดเพิ่มเติม: https://people.seas.harvard.edu/~salil/pseudorandomness/
ความเข้าใจผิดของนักพนัน
เพื่ออธิบายสิ่งที่ฉันคิดให้เข้าใจตัวอย่างนี้ ฉันสามารถพลิกเหรียญและพบว่าหลังจากพลิก 10 ครั้งฉันได้หัว 85% จากนั้นหลังจากพลิก 100 ครั้งฉันได้หัว 65% หลังจากพลิก 1,000 ครั้งฉันได้หัว 95% หลังจากพลิก 10,000 ครั้งฉันได้รับหัว 15% เป็นต้น ต้องการพูดถึงสถานการณ์ที่เศษส่วนไม่บรรจบกัน
คุณบอกเป็นนัยว่าในที่สุดจำนวนหัวจะมาบรรจบกันที่ "ความยุติธรรม" ของเหรียญ ตามหลักการแล้วนั่นคือความจริง ในทางปฏิบัติคุณอาจต้องรอนานเป็นเวลานานกว่าจะเกิดขึ้น สถานการณ์ที่คุณอธิบายนั้นแยกไม่ออกจากเหรียญที่ถูกโยน 10,000x หากเป็นไปไม่ได้ที่เหรียญยุติธรรมจะลงหัว 1,500 จาก 10,000 ครั้งการพลิกเหรียญก็จะไม่เป็นอิสระ (พวกเขาจะมี "ความทรงจำ" เกี่ยวกับผลลัพธ์ก่อนหน้านี้) หรือ "ความยุติธรรม" ของเหรียญจะไม่ เป็น 50% แต่ถ้าเราเลือกเหรียญที่ยุติธรรมเพื่อเริ่มต้นข้อความก่อนหน้านี้ก็ไม่อาจเป็นจริงได้ ดังนั้นการได้รับหัว 15% ของเวลาแม้หลังจากการพลิกเหรียญ 10k จะต้องเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับเหรียญที่ยุติธรรม มันเป็นทางดาราศาสตร์น่าจะเป็นไปเพื่อตรวจสอบว่า แต่มันก็เป็นไปได้
ฉันพูดถึงความผิดพลาดของนักพนันเพราะดูเหมือนว่าคุณกำลังใช้ประโยชน์จากเวอร์ชันที่อ่อนแอกว่า กล่าวคือคุณดูเหมือนจะบอกเป็นนัยว่า "การสุ่มอย่างอ่อน" คือประเภทที่ลำดับของเหตุการณ์สุ่มมาบรรจบกันเป็นค่าที่คาดหวังในขณะที่ "การสุ่มจริง" ไม่มีการแจกแจงที่อธิบายได้ด้วยซ้ำ? นักพนันมักพูดว่า: "วงล้อต้องตีสีดำเพราะมันตีเป็นสีแดง 5 ครั้งติดต่อกัน! ฉันเดิมพันใหญ่กับสีดำ!" แต่ความจริงก็คือฮิสโตแกรมของตัวแปรสุ่มอย่างแท้จริงไม่ได้มีหน้าที่อย่างน้อยที่สุดที่จะมาบรรจบกันเป็นรูปร่างใด ๆในการทดลองจำนวน จำกัด !
ประเด็นของฉันคือสิ่งนี้: สำหรับลำดับที่ จำกัด ของตัวแปรสุ่ม X คุณไม่สามารถสร้างกฎที่บอกฉันได้ว่า X เป็น "สุ่มอย่างอ่อน" หรือ "สุ่มอย่างแท้จริง" นี่คือเหตุผลที่คุณไม่เข้าใจคำอธิบายของโนอาห์: เขากำลังพูดถึงลำดับที่ยาวไม่สิ้นสุดซึ่งเป็นแบบเดียวที่สามารถเรียกได้ว่า "สุ่ม" ในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด
คำตอบก่อนหน้านี้บางคำตอบเชิงปรัชญามากกว่า (เช่น David Hume) ส่วนคำตอบอื่น ๆ เป็นตัวอย่างที่ดี (เช่น Cauchy Distribution) ฉันต้องการมุ่งเน้นไปที่คำถามนี้ของ OP:
... เราสามารถจินตนาการถึงสถานการณ์ที่ฮิสโตแกรมไม่ได้มาบรรจบกันจริง ๆ แต่เปลี่ยนแปลงไปเรื่อย ๆ ฉันจะทำให้ความคิดนี้ชัดเจนทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร
Ergodicity
กระบวนการสุ่มที่ไปถึงสภาวะคงที่เรียกว่า ergodic; ในตัวอย่างของ OP ถ้าเราสังเกตกระบวนการ ergodic ในช่วงเวลาใด ๆ ความถี่ของการสังเกตที่แตกต่างกันในที่สุดก็จะรวมกันเป็นฮิสโตแกรมที่ดี หากเราสังเกตกระบวนการที่ไม่ถูกต้องตามหลักสรีรศาสตร์การสังเกตจะไม่มาบรรจบกัน