Codimension สองรูที่มีพื้นผิวตามขวาง

Aug 19 2020

สมมติว่าฉันปิดบางส่วน $4$-manifold $X$ และ codimension-two foliation $\mathcal{F}$เช่นเดียวกับพื้นผิวที่ปิด $\Sigma$ ของการตัดกันที่ไม่เป็นลบซึ่งอยู่ทุกหนทุกแห่งตามขวาง $\mathcal{F}$.

แล้วมีข้อ จำกัด อะไรบ้างในการยกกระชับ $\mathcal{F}$เหรอ? คำถามนี้ให้คำตอบในกรณีที่$X$ เป็นพื้นผิวที่ซับซ้อนและ $\mathcal{F}$ เป็นโฮโลมอร์ฟิก แต่ฉันสนใจสิ่งที่เกิดขึ้นในกรณีจริงมากกว่า

คำตอบ

GaelMeigniez Sep 08 2020 at 01:47

ในกรณีจริงนี้มีข้อ จำกัด เล็กน้อย เลือก$\Sigma\subset X$ ดังนั้น $X$ ยอมรับสนาม 2 ระนาบที่ราบรื่น $\xi$ (ไม่จำเป็นต้องบูรณาการ) ตามขวาง $\Sigma$. จากนั้นจึงง่ายที่จะก่อกวนเล็กน้อย$\xi$ เพื่อให้สามารถรวมเข้ากับพื้นที่ใกล้เคียงขนาดเล็กของ $\Sigma$. จากนั้นโดยทฤษฎีบทของ Thurston (Commentarii 1974)$\xi$เป็นมิติที่แท้จริง $2$สามารถ homotoped rel. $\Sigma$กลายเป็นบูรณาการได้ทุกที่ คุณสามารถเริ่มต้นด้วยการขยาย$\xi$ ไปยังรูขุมขนบางส่วนที่คุณเลือกมากกว่าส่วนย่อยปกติของ $X$. ดังนั้นความเป็นไปได้จึงมหาศาล