Convolution Integral Linear Operator เปิดอยู่ $L^2$

Question

กำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นบน $L^2[0,1]$ โดย $K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$. ให้$g \in L^2[0,1]$, ค้นหา $f$ ดังนั้น $f = g + K(f)$.

ฉันหลงทางกับวิธีการทำเช่นนี้จริงๆ ฉันแสดงให้เห็นแล้ว$K$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตดังนั้นฉันคิดว่าฉันอาจจะใช้ทฤษฎีบทการแทนค่า Riesz ได้ แต่ฉันไม่คิดว่านั่นเป็นทิศทางที่ถูกต้อง

ฉันจะขอบคุณมากสำหรับคำแนะนำที่จะไป ขอบคุณ!

Answer 1

สมการอินทิกรัลสามารถแก้ไขได้โดยใช้การแปลงลาปลาซ ใช้การแปลง Laplace กับทั้งสองด้านโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลง Laplace ของการแปลงฟังก์ชันสองฟังก์ชันเป็นผลมาจากการแปลง Laplace ของแต่ละฟังก์ชัน เพื่อให้ได้สมการ$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$ ที่ไหน $F$ และ $G$ คือการแปลงลาปลาซของ $f$ และ $g$ตามลำดับ ใช้การแปลงลาปลาซผกผันทีละเทอมโดยใช้ทฤษฎีบท Convolution เพื่อค้นหา Laplace ผกผันของพจน์ที่สองและสุดท้ายทางด้านขวามือ

Answer 2

นี่เป็นคำถามเดียวกับการแสดงสิ่งนั้น $f\mapsto K(f)-f$เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่คาดเดาได้ เพราะ$K$ เป็นตัวดำเนินการของ Hilbert-Schmidt มีขนาดกะทัดรัดและ $T(f)=K(f)-f$ดังนั้นจึงเป็น Fredholm ในความเป็นจริงมันคือ Fredholm ของดัชนีศูนย์เนื่องจากดัชนี Fredholm ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเพิ่มขนาดกะทัดรัด ดังนั้นหากเราแสดงให้เห็นว่าเคอร์เนลนั้นไม่สำคัญเราก็แสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการนั้นคาดเดาได้

สมมติว่า $T(f)=0$หรือเทียบเท่า $K(f)=f$. แล้วสำหรับเกือบทุก$t$, $f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$. เนื่องจากภาพของตัวดำเนินการ Convolution เป็นแบบต่อเนื่องเราจึงสามารถเลือกตัวแทนแบบต่อเนื่องได้$f$และขอความเสมอภาคแบบชี้จุด ตอนนี้เมื่อถึงจุดใด$t_0$, $\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$ซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $\|f\|_\infty\cdot h$ดังนั้นฟังก์ชันจึงแตกต่างกัน ตอนนี้เมื่อเราแยกความแตกต่างภายใต้อินทิกรัลเราจะเห็นสิ่งนั้น$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$และนั่นหมายความว่า $f''(t_0)=f(t_0)$ดังนั้น $f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$. การเสียบสิ่งเหล่านี้ให้ผลตอบแทนทันที$c_1,c_2=0$ดังนั้นเคอร์เนลจึงเป็นเรื่องเล็กน้อยและดัชนี Fredholm เป็นศูนย์หมายความว่าตัวดำเนินการ $T$ เป็นการคาดเดา