Cotangent Complex เหมาะสำหรับอะไร?
คอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์ดูเหมือนจะเป็นวัตถุพื้นฐานที่ค่อนข้างดีในเรขาคณิตพีชคณิต แต่ถ้าได้รับการปฏิบัติใน Hartshorne แล้วฉันก็พลาด ดูเหมือนว่าจะมีความสำคัญมากกว่าในรูปเรขาคณิตพีชคณิตที่ได้รับดังนั้นฉันคิดว่าฉันต้องชะลอตัวลงและซูมออกเล็กน้อย เมื่อแรกเรียนรู้เกี่ยวกับวัตถุ$X$เป็นเรื่องดีที่มีการใช้งานที่เป็นรูปธรรมของ $X$ เพื่อจัดโครงสร้างความคิด
คำถาม:ทำไมต้องศึกษา Cotangent complex? มีจุดมุ่งหมายเพื่อแก้ปัญหาอะไร
(คะแนนโบนัสหากมีสิ่งที่น่าสนใจที่จะพูดเกี่ยวกับการขยายไปสู่การตั้งค่าที่ได้รับ)
ผมมีความรู้สึกว่าโคแทนเจนต์ซับซ้อนเป็นเช่นวัตถุพื้นฐานที่มันอาจจะยากที่จะแยกความสำคัญของมัน - เหมือนพยายามที่จะเป็นปล้องความสำคัญของสิ่งที่ต้องการโฮโมโลจี้ ในกรณีนี้อาจเป็นการเหมาะสมกว่าที่จะถามบางสิ่งเช่น "คำถามประเภทใดที่โคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์อนุญาตให้ถามได้"
แก้ไข:คำตอบนั้นยอดเยี่ยมมาก แต่ฉันคิดว่ามีตัวอย่างอีกมากมายที่สามารถให้ได้ (ยิ่งลงสู่พื้นดินมากเท่าไหร่ก็ยิ่งดีเท่านั้น!) ตามที่แนะนำไว้ในความคิดเห็นอาจเป็นการเหมาะสมที่จะพูดอีกเล็กน้อยว่าฉันมาจากไหน
ฉันคิดว่าแนวคิดหลักที่ฉันมีอยู่ในหัวตอนนี้คือ:
คอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์เป็นการสรุปความแตกต่างของคาห์เลอร์
คอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์ควบคุมทฤษฎีการเสียรูป
สิ่งนี้ทำให้ฉันมีปัญหาเล็กน้อย:
ฉันไม่คุ้นเคยกับการคิดรูปแบบที่แตกต่างเป็นหลักว่าเป็น "สิ่งที่ควบคุมการเปลี่ยนรูป" ดังนั้นจึงอาจเป็นประโยชน์ในการอธิบายการใช้โคแทนเจนต์เชิงซ้อนโดยการอธิบายปัญหาการเสียรูปและวิธีแก้ปัญหาในกรณีที่ราบรื่นโดยใช้ Differentntials - จากนั้นจึงดูเหมือนเป็นเรื่องธรรมดาที่จะต้องการสรุปสถานการณ์นี้ให้เป็นกรณีที่ไม่ราบรื่น
ฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าทำไมฉันถึงสนใจทฤษฎีการเสียรูปเช่นนี้ ดังนั้นจึงอาจเป็นประโยชน์ในการดูตัวอย่างของปัญหาที่เกิดขึ้นนอกบริบทของทฤษฎีการเปลี่ยนรูปเองดูว่าจะเปลี่ยนรูปแบบใหม่ในทางทฤษฎีได้อย่างไรจากนั้นดูว่าโซลูชันของมันใช้โคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์อย่างไร คะแนนโบนัสหากเรื่องราวเป็นรูปทรงเรขาคณิตมากพอที่จะดูว่าทำไมบทบาทของโคแทนเจนต์เชิงซ้อนที่นี่จึงเป็นลักษณะทั่วไปของบทบาทของดิฟเฟอเรนเชียล
คำตอบ
นี่คือตัวอย่างที่กล่าวถึงในการส่งคำตอบของผู้ใช้ ali แต่ฉันคิดว่ามันน่ารัก (และทรงพลัง) มากพอที่จะคุ้มค่ากับรายละเอียด
ยกจากลักษณะ $p$ เป็นศูนย์ลักษณะ
ในระยะสั้นการศึกษาวัตถุรูปทรงเรขาคณิต (เช่นโครงร่าง) $X$ ในลักษณะ $p$มักจะเกี่ยวข้องกับการยกให้เป็นศูนย์ลักษณะเฉพาะ ตัวอย่างเช่นถ้า$X$ เป็นความหลากหลายของการฉายภาพที่ราบรื่น $\mathbf{F}_p$เราอาจพยายามหาลิฟต์ (แบน) $\mathcal{X}$ มากกว่า $p$- ตัวเลข $\mathbf{Z}_p$. ตอนนี้$\mathbf{Z}_p$ ฝังลงใน $\mathbf{C}$ (ในบางวิธีที่ไม่เป็นพิษโดยสิ้นเชิง) และเราสามารถใช้วิธีการที่มีประสิทธิภาพเช่นทฤษฎีฮ็อดจ์กับองค์ประกอบที่ซับซ้อน $\mathcal{X}_\mathbf{C}$.
ตอนนี้จำได้ว่า $$ \mathbf{Z}_p = \varprojlim_n \mathbf{Z}/p^{n+1}. $$ ดังนั้นการยก $X_0=X$ เกิน $\mathbf{Z}_p$ เกี่ยวข้องกับการค้นหาลิฟท์ที่เข้ากันได้ $X_n$ เกิน $\mathbf{Z}/p^{n+1}$ เพื่อทุกสิ่ง $n$. ระบบ$\mathfrak{X} = \{X_n\}$ (หรือขีด จำกัด อุปนัยในช่องว่างที่มีวงแหวนในเครื่อง) คือ "$p$- แบบแผนอย่างเป็นทางการ "และขั้นตอนต่อไปเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบว่าเป็นพีชคณิตได้กล่าวคือมาจากโครงร่างจริง$\mathcal{X}/\mathbf{Z}_p$ โดย functor "เสร็จสิ้นอย่างเป็นทางการ" ที่ชัดเจน
ตอนนี้ขั้นตอนแรกค้นหาการยกต่อเนื่อง $\{X_n\}$ถูกควบคุมอย่างสมบูรณ์โดยทฤษฎีการเสียรูป ในสถานการณ์ของเรามีข้อความดังต่อไปนี้:
ถ้า $X_0$ เป็นโครงการมากกว่า $\mathbf{F}_p$และ $X_n$ คือการยกแบบแบนของ $X_0$ เกิน $\mathbf{Z}/p^{n+1}$มีคลาสสิ่งกีดขวางอยู่ $$ {\rm obs}(X_n, \mathbf{Z}/p^{n+2}) \in {\rm Ext}^2(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}) = {\rm Hom}_{D(X_0)}(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}[2]), $$ ซึ่งจะหายไปในกรณีที่มีการยกแบบเรียบเท่านั้น $X_{n+1}$ ของ $X_n$ เกิน $\mathbf{Z}/p^{n+2}$. มันเป็นเรื่องสนุกในแง่ที่ว่าสำหรับ$f_n\colon X_n\to Y_n$ การยก $f_0\colon X_0\to Y_0$ เรามีจัตุรัสสับเปลี่ยน $$\require{AMScd} \begin{CD} \mathbf{L}_{Y_0/\mathbf{F}_p} @>>> \mathcal{O}_{Y_0}[2]\\ @VVV @VVV\\ Rf_{0, *}\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p} @>>> Rf_{0, *}\mathcal{O}_{X_0}[2] \end{CD}$$
ในกรณีที่คลาสสิ่งกีดขวางหายไปชุดของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมของลิฟท์ดังกล่าว $X_{n+1}$ เป็นไปตามธรรมชาติที่มีแรงบิดต่ำ $$ {\rm Ext}^1(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}) = {\rm Hom}_{D(X_0)}(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}[1]). $$
กลุ่มหุ่นยนต์ของการยกใด ๆ $X_{n+1}$ จำกัด เฉพาะบน $X_n$ isomorphic ตามธรรมชาติ $$ {\rm Hom}(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0}). $$
มีเรื่องราวที่คล้ายกันสำหรับการยก morphisms $f_0\colon X_0\to Y_0$.
ดังนั้นถ้าคุณสามารถแสดงได้ ${\rm Ext}^2(\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}, \mathcal{O}_{X_0})$ หายไปแล้วคุณก็รู้ $X_0$ ยอมรับอย่างเป็นทางการ $p$-adic ยก $\mathfrak{X}$. ตัวอย่างเช่นถ้า$X_0$ เป็นพื้นผิว K3 จากนั้นสามารถระบุกลุ่มนี้ได้ด้วยช่องว่างของฟิลด์เวกเตอร์ส่วนกลางบน $X_0$และการหายตัวไปของมันเป็นทฤษฎีบทที่ยากเนื่องจาก Rudakov และ Shafarevich (และความจริงที่ว่ามีการยกเชิงพีชคณิตอย่างเป็นทางการกล่าวคือสามารถยกบันเดิลบรรทัดที่เพียงพอให้กับทั้งหมดได้$X_n$เป็นทางเลือกที่ดีของ $\mathfrak{X}$ซึ่งแสดงในภายหลังโดย Deligne)
โครงร่างที่สมบูรณ์แบบและเวกเตอร์วิตต์
นึกถึงสิ่งนั้นสำหรับทุกสนามที่สมบูรณ์แบบ $k$ ของลักษณะ $p>0$ มีวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่ไม่เหมือนใคร $W(k)$(วงแหวนของวิตต์เวกเตอร์ ) พร้อมสนามตกค้าง$k$ ซึ่งอุดมคติสูงสุดถูกสร้างขึ้นโดย $p$. มันเป็น functor ของ$k$และเรามี $W(k) \simeq k^{\mathbf{N}}$เป็น functors เป็นชุด กฎหมายการบวกและการคูณ$k^{\mathbf{N}}$ วิธีนี้ได้มาจากสูตรสากลที่ซับซ้อนเช่น $$ (x_0, x_1, \ldots) + (y_0, y_1, \ldots) = (x_0 + y_0, x_1 + y_1 - \sum_{0<i<p} \frac 1 p \binom p i x_0^i y_0^{p-i}, \ldots). $$ เรากำหนด $W_n(k) = W(k)/p^n$และเรียกเวกเตอร์วิตต์เหล่านี้ว่ามีความยาว$n$.
ตัวอย่างเช่น, $W(\mathbf{F}_p) = \mathbf{Z}_p$, $W_n(\mathbf{F}_p) = \mathbf{Z}/p^n$.
ในความเป็นจริงข้างต้นสามารถกำหนดได้สำหรับแหวนใด ๆ $R$. ถ้า$R$เป็นที่สมบูรณ์แบบ $\mathbf{F}_p$-algebra หมายถึง Frobenius $$ F_R \colon R\to R, \quad F_R(x) = x^p $$ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมแล้ว $W(R)$ คือการยกแบบแบนของ $R$ เกิน $W(\mathbf{F}_p) = \mathbf{Z}_p$.
นี่คือข้อโต้แย้งที่สวยงาม (ฉันคิดว่าเนื่องจาก Bhargav Bhatt) ใช้โคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์เพื่อแสดงการมีอยู่ของเวกเตอร์วิตต์สำหรับวงแหวนที่สมบูรณ์แบบ (หรือโครงร่าง) โดยไม่ต้องใช้สูตรสากลที่ดูแปลก ๆ สำหรับการบวกและการคูณ
ทฤษฎีบท. ปล่อย$X$ เป็นคนที่สมบูรณ์แบบ $\mathbf{F}_p$- หลักสูตร มีเอกลักษณ์เฉพาะของ isomorphism formal$p$-adic ยก $\mathfrak{X} = \{X_n\}$ ของ $X_0=X$. ยิ่งไปกว่านั้นทุก morphism$f\colon X\to Y$ ยอมรับการยกที่ไม่เหมือนใคร $\mathfrak{X}\to \mathfrak{Y}$.
ข้างต้นบอกเป็นนัยว่า $\mathfrak{X}$ เป็น functor ของ $X$, แสดง $W(X)$. ไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่ามันตรงกับเวกเตอร์วิตต์
หลักฐาน. พิจารณาโคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์$\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}$ และแผนที่ $$ F_X^* \colon \mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}\to F_{X, *} \mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p} $$ เกิดจาก Frobenius ที่แน่นอน $F_X\colon X\to X$. ตั้งแต่$F_X$ คือ isomorphism แผนที่ $F_X^*$เป็นไอโซมอร์ฟิซึมด้วย ที่ซับซ้อน$\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p}$ ถูกกำหนดโดยการแก้ไขเฉพาะที่ $\mathcal{O}_X$ โดยฟรี $\mathbf{F}_p$-algebras และพิจารณาความแตกต่างของ Kaehler และ$F_A$ ทำหน้าที่เป็นศูนย์ $\Omega^1_{A/\mathbf{F}_p}$ สำหรับทุกๆ $\mathbf{F}_p$-พีชคณิต $A$: $$ F_A^*(dx) = dF_A(x) = dx^p = px^{p-1} dx = 0. $$ ดังนั้นแผนที่ $F_X^*$ด้านบนคือแผนที่ศูนย์ เนื่องจากมันเป็นไอโซมอร์ฟิซึมด้วยเราจึงสรุปได้ว่า$\mathbf{L}_{X_0/\mathbf{F}_p} = 0$!
ตอนนี้ตามทฤษฎีการเปลี่ยนรูปสิ่งกีดขวางในการยกอยู่ในกลุ่มศูนย์ (และด้วยเหตุนี้การยกที่ต่อเนื่องจึงมีอยู่) คลาสไอโซมอร์ฟิซึมของการยกแบบต่อเนื่องที่แตกต่างกันจะได้รับการอนุญาตโดยกลุ่มศูนย์ (และด้วยเหตุนี้การยกจึงไม่ซ้ำกัน) และกลุ่มออโตฟิสซึมของพวกมันคือ เรื่องเล็กน้อย (ดังนั้นการยกจึงมีลักษณะเฉพาะสำหรับ isomorphism ที่ไม่ซ้ำกัน) ในทำนองเดียวกันคนหนึ่งจะจัดการกับการเพิ่มขึ้นของ morphisms$\square$
แอปพลิเคชันหลักตัวหนึ่งอยู่ในทฤษฎีบทการเป็นตัวแทนของอาร์ติน การมีอยู่ของโคแทนเจนต์เชิงซ้อน (สิ่งที่อาร์ตินเรียกว่าการมีอยู่ของทฤษฎีการอุดตัน) ช่วยให้คุณสามารถกำหนดคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของแผนที่ที่ราบรื่นได้ มันทรงพลังจริงๆ ฉันขอแนะนำให้ดู DAG XIV หากคุณสนใจแอปพลิเคชันนี้ (เวอร์ชันที่ได้รับอยู่ใน DAG-0 (วิทยานิพนธ์ของ Lurie)) และเวอร์ชันที่เรียบง่ายอยู่ในภาคผนวกของ HAG-II โดยToënและ Vezzosi
ความสามารถในการเป็นตัวแทนถูกนำมาใช้เพื่อเอฟเฟกต์ที่น่าทึ่งในกระดาษปี 2011 ของToënซึ่งแสดงให้เห็นว่า n-stack ที่ได้รับ fppf-algebraic ทุกชิ้นนั้นยอมรับแผนที่ที่ราบรื่นดังนั้นจึงเป็น n-stack ที่ได้รับจาก Artin algebraic และในทางกลับกัน (แสดงให้เห็นว่า n-stacks ที่ได้จาก Artin ทั้งหมดเป็น fppf มัด)
เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันต้องใช้ประโยชน์จากทฤษฎีบทเหล่านี้เพื่อพิสูจน์การสืบเชื้อสายของ fppf สำหรับétale n-sheaves บนสแต็ค DM สเปกตรัมในสิ่งที่ฉันได้ดำเนินการเมื่อเร็ว ๆ นี้ ประเด็นสำคัญในทั้งหมดนี้แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของคอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์
หากคุณต้องการดูความสัมพันธ์ระหว่างรูปแบบที่แตกต่างและทฤษฎีการเปลี่ยนรูปคุณสามารถดูได้ที่ส่วน B ของบทความ Illusie ใน FGA อธิบายซึ่งแสดงให้เห็นว่าเหตุใดสิ่งกีดขวางของปัญหาในการยกมอร์ฟีนหรือโครงร่างไปยังพื้นที่ใกล้เคียงที่มีขนาดเล็กจึงอยู่ใน cohomology ของฟ่อนที่เกี่ยวข้องกับฟ่อนของส่วนต่าง นอกจากนี้ยังกล่าวถึงการประยุกต์ใช้แบบคลาสสิกของข้อเท็จจริงนี้เกี่ยวกับกลุ่มพื้นฐานของโครงร่างและในทำนองเดียวกันนี่เป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญมากเมื่อคุณต้องการพิสูจน์ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานเกี่ยวกับétale cohomology
หนึ่งในแรงจูงใจหลักของคอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์คือการศึกษาการเปลี่ยนรูปของ $p$- แบ่งกลุ่มได้และพิสูจน์ทฤษฎีบท Grothendieck - Messing สิ่งนี้มีความสำคัญเนื่องจากตัวอย่างเช่นคุณมีเกณฑ์สำหรับความเรียบโดยพิจารณาจากการเปลี่ยนรูปซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อคุณกำหนดโครงร่างของคุณโดยเป็นจุดรวมของจุด คุณสามารถใช้ทฤษฎี Grothendieck – Messing เพื่อพิสูจน์ความราบรื่นของพันธุ์ Shimura (และแบบจำลองหลัก) เหนือสิ่งอื่นใด
คอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์ยังมีประโยชน์ในรูปทรงเรขาคณิตเพอร์เฟกต์อยด์เพราะคุณมักต้องการยกมอร์ฟีนหรือโครงร่างจากสนามตกค้างของวงแหวนและทฤษฎีการเปลี่ยนรูปในท้องถิ่นที่สมบูรณ์และโคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์เป็นเครื่องมือหลักสำหรับปัญหาประเภทนี้และในการตั้งค่าพรีเฟอรอยด์ วงแหวนโคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์ (หรืออย่างน้อยที่สุดก็คือการเติม p-adic ที่ได้มา) หายไปเนื่องจากการลดลงของ Frobenius มันเป็นแบบฝึกหัดที่ง่ายเมื่อคุณสร้างเครื่องจักรของคอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์ แต่มันสำคัญมากเพราะคุณไม่มีสิ่งกีดขวางใด ๆ ในการยกสัณฐาน
ให้ฉันลองตอบคำถามในการแก้ไขของคุณ สำหรับความสัมพันธ์กับทฤษฎีการเปลี่ยนรูปนั้นง่ายกว่าในทางเรขาคณิตที่จะคิดเกี่ยวกับแทนเจนต์เชิงซ้อน
ปล่อย $X$เป็นพีชคณิตที่หลากหลาย แล้ว$H^0(T_X)$ช่องว่างของฟิลด์เวกเตอร์ส่วนกลางบน $X$, ควบคุมระบบอัตโนมัติขนาดเล็กของ $X$. นี่เป็นเพียงความสัมพันธ์ตามปกติระหว่างฟิลด์เวกเตอร์และกลุ่มย่อยพารามิเตอร์หนึ่งจากโทโพโลยีที่แตกต่างกัน จากข้อเท็จจริงนี้เราจะเห็นว่าทำไม$H^1(T_X)$ ควบคุมการเปลี่ยนรูป
ในเชิงพีชคณิตเขียน $D = {\rm Spec}~ k[\epsilon]/\epsilon^2$. ความผิดปกติของ$X$ เป็นความหลากหลาย (แบน) $\tilde X \to D$ ร่วมกับ isomorphism $X \to \tilde X \times_D {*}$. ความผิดปกติของ$X$สร้างกลุ่มอยด์ในลักษณะที่ชัดเจน นอกจากนี้สำหรับทุกส่วนย่อยที่เปิดอยู่$U$ ของ $X$ เราสามารถพิจารณากลุ่มที่ไม่มีความผิดปกติของ $U$. สิ่งนี้ทำให้เรามี groupoids บน$X$, $U \mapsto Def(U)$.
ตอนนี้ข้อเท็จจริงสำคัญคือ:
- ถ้า $U$ มีความสัมพันธ์กันแล้วทุกการเสียรูปของ $U$ isomorphic ถึง $U \times D$.
- กลุ่ม Automorphism ของการเปลี่ยนรูป $U \times D$ เป็นไอโซมอร์ฟิกตามบัญญัติถึง $H^0(T_U)$.
ข้อเท็จจริงประการที่สองคือการจัดเรียงใหม่ทางพีชคณิตของข้อเท็จจริงจากก่อนหน้านี้ คนแรกใช้ความเรียบของ$X$. การให้ข้อเท็จจริงทั้งสองนี้เป็นไปอย่างเป็นทางการว่าฟ่อนของ groupoids คือสิ่งที่เกี่ยวข้องกับฟ่อนของกลุ่ม$H^0(T_U)$. ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งชุดของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อคือ$H^1(T_X)$.
ตอนนี้เนื่องจากเรากำลังทำงานในการตั้งค่า homological / homotopical มันเป็นเรื่องง่ายที่จะดำเนินเรื่องที่คล้ายกันสำหรับรูปแบบเอกพจน์เราควรแก้ไขด้วยแผนการที่ราบรื่นและทำงานจากที่นั่น กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้า$X$ เป็นเอกพจน์จากนั้นกลุ่ม automorphism ของ $X \times D$ ไม่จำเป็นต้องถูกควบคุมโดย $H^0(T_X)$ อีกต่อไป แต่เรารู้ว่าเราสามารถคำนวณกลุ่มออโตฟิสซึมในหมวดหมู่ของโครงร่างที่ได้รับโดยการแก้ไข $X$ด้วยรูปแบบที่ราบรื่น คุณสามารถลองคิดว่าเกิดอะไรขึ้นกับความเป็นเอกฐานที่ง่ายที่สุด$\mathbb V(xy)$.
สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการเปลี่ยนรูป - เรขาคณิตเชิงพีชคณิตต้องการจำแนกพันธุ์ ช่องว่าง / สแต็กของโมดูลีมีประโยชน์มากและทฤษฎีการเสียรูปจะบอกโครงสร้างเฉพาะของโมดูลิสเปซได้อย่างแม่นยำ ตัวอย่างเช่นโมดูลิสเปซของสกุล$g$ เส้นโค้งเรียบและ $3g-3$Dimenisonal. ทำไม? เพราะ$H^1(T_C) = H^0(\Omega_C^{\otimes 2})$ มีมิติ $3g-3$โดย Riemann Roch เสมอ คอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์เข้ามาเมื่อคุณต้องการกระชับโมดูลิสเปซขอบเขตของการอัดแน่นจะประกอบด้วยเส้นโค้งเอกพจน์ คุณสามารถดูบทความของ Deligne-Mumford เพื่อดูว่าทฤษฎีการเสียรูปถูกนำมาใช้ที่นี่ได้อย่างไร
นี่ไม่ได้เป็นตรอกที่ซ้อนกันและเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่หลาย ๆ คนชอบ แต่ฉันคิดว่ามันอาจจะมีประโยชน์ในการแสดงให้เห็นว่าคอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์ (พีชคณิต) สามารถใช้เพื่อจัดระเบียบและแก้คำถามที่เป็นธรรมชาติในการเปรียบเทียบทฤษฎีโคเมียนร่วมโคโรนาเหมือนกับที่ทฤษฎีบท HKR คลาสสิกทำอย่างไร .
ในการทำงานร่วมกันกับ R.Campos เราสามารถใช้โคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์ (ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นแบบเชิงเส้นสำหรับ algebras เหนือโอเปอแรตเกี่ยวกับพีชคณิต) เพื่อแก้ปัญหาต่อไปนี้:
สมมติว่า $f:P\longrightarrow Q$ เป็น morphism ของ (พีชคณิต) operads และพิจารณา morphism เหนี่ยวนำบนคอมเพล็กซ์โคแทนเจนต์ $\mathbb L_{P,A} \longrightarrow \mathbb L_{Q,A}$. ถ้า$A$ เป็นไปอย่างราบรื่น $Q$-algebra (หมายถึง functor $X\to \operatorname{Der}_Q(X,M)$ เป็นที่แน่นอน) เมื่อใดที่เราจะหา functor ได้ $F$ ที่ก่อให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมกึ่งเชิงซ้อนประเภท HKR $ \mathbb L_{P,A} \longrightarrow F(\mathbb L_{Q,A})?$
ปรากฎว่าถ้าใครพิจารณาหมวดซ้าย dg-$P$- โมดูลแล้วก็ functors $F$ มีความสอดคล้องกันมากหรือน้อยกับมติของ $Q$ เป็นด้านซ้าย $P$- โมดูลผ่าน $f$และเราก็แสดงให้เห็น
ถ้า $f$ เหลือ Koszul (หมายความว่าเราสามารถเลือกความละเอียดด้านซ้ายได้ $(P\circ F,d)$ ที่บริสุทธิ์ตามแนวทแยงมุม) จากนั้นเครื่องกำเนิดไฟฟ้า $F$ ของความละเอียดแก้ปัญหาข้างต้น: สำหรับทุกความราบรื่น $Q$-พีชคณิต $A$ มีแผนที่ของคอมเพล็กซ์ $\mathbb L_{P,A} \longrightarrow F(\mathbb L_{Q,A})$ นั่นคือกึ่ง isomorphism
หากต้องการดูว่านี่เป็นทฤษฎีบท HKR อย่างไรให้สังเกตว่าสำหรับการฉายภาพ $A\to C$ ของตัวดำเนินการที่เชื่อมโยงกับตัวสับเปลี่ยนเราสามารถค้นหาความละเอียดบริสุทธิ์ในแนวทแยงที่กำหนดโดย $(A\circ F,d)$ ที่ไหน $F =\mathsf{Lie}^¡$มีระดับน้ำหนักเท่ากับ arity แน่นอนคุณเข้าใจว่า homology ของสิ่งนี้คือ$C$ เพราะ $A = C\circ \mathsf{Lie} $ และ $\mathsf{Lie} \circ \mathsf{Lie}^¡ \simeq k$.
นี่เป็นการกู้คืนทฤษฎีบท HKR แบบคลาสสิกเนื่องจากแน่นอน $F(V) = S^c(V)$ และเราก็ได้สิ่งนั้นมา $HH_*(A)$ คือพีชคณิตโคคอมมิวเททีฟฟรี $\Omega_A^1$ (ตั้งแต่ $A$ ราบรื่นนี่คือสิ่งที่เหลืออยู่ในความคล้ายคลึงกันของ $\mathbb L_{C,A}$).