Direct Series Solution พยายามใช้ Quantum Harmonic Oscillator

Question

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่สัมพันธ์กันของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกในตัวแปรไร้มิติคือ $$\frac{d^2 \Psi}{d \xi^2} = (\xi^2 - k)\Psi$$ ที่ไหน $$k \equiv \frac{2E}{\hbar \omega}$$ตามสแต็กนี้โซลูชันอนุกรมกำลังโดยตรงเป็นวิธีที่ถูกต้องในการแก้สมการนี้ ผมเลยลองเปลี่ยนตัว$\Psi = \sum{a_n \xi^n}$ในสมการชโรดิงเงอร์ ฉันได้รับความสัมพันธ์การเกิดซ้ำ$$a_{n+2} = \frac{a_{n-2} - ka_n}{(n+1)(n+2)}$$ ที่ไหน $n \ge 2$ และ $$a_2 = - \frac{k}{2}a_0$$ $$a_3 = - \frac{k}{6} a_1$$

ตอนนี้ฉันจะใช้เงื่อนไขนั้นได้อย่างไร $\Psi$ไปที่ศูนย์ที่บวกลบอินฟินิตี้ของโซลูชันนี้? นอกจากนี้ฉันจะหาค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานได้อย่างไร ในแนวทางดั้งเดิมค่าลักษณะเฉพาะของพลังงานจะออกมาโดยธรรมชาติเมื่อเราต้องการยุติอนุกรมกำลังไม่เกินกำลังหนึ่ง ฉันไม่รู้ว่าฉันควรจะทำสิ่งนี้ได้อย่างไรและอย่างไรเพราะอนุกรมทั่วไปอาจบรรจบกันและตอบสนองคุณสมบัติทางกายภาพ

หากไม่มีวิธีทำสิ่งเหล่านี้โดยไม่แยกตัวประกอบของโซลูชันแบบไม่แสดงอาการเราจะแก้สมการของชเรอดิงเงอร์ที่ไม่มีคำตอบแบบไม่แสดงเส้นที่ดีเช่นนี้ แต่เป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับโซลูชันอนุกรมกำลังได้อย่างไร

Answer 1

เหตุผลสำหรับวิธีการดั้งเดิมในการดึงปัจจัยของ $e^{-x^2/2}$ และจากนั้นก็หาวิธีแก้ปัญหาแบบอนุกรมคือให้ชุดกำลังเข้า $x$เป็นการยากที่จะระบุว่าผลรวมมีพฤติกรรมอย่างไร $|x|\to \infty$. เมื่อซีรีส์สิ้นสุดลงเช่นเดียวกับพหุนาม Hermite ดังนั้นจะเห็นได้ง่ายว่าฟังก์ชันของคลื่นจะเข้าสู่ศูนย์ที่ระยะอนันต์ เมื่อซีรีส์ไม่ยุติมันเป็นหนึ่งในไม่กี่กรณีที่สามารถเห็นได้ว่าผลรวมของอนุกรมกำลังที่ไม่สิ้นสุดจะทำงานเป็น$e^{+x^2}$ ที่มีขนาดใหญ่ $|x|$ ดังนั้น "ยุติ" จึงเทียบเท่ากับกำลังสอง

ดังนั้นสิ่งที่สำคัญที่สุดก็คือการค้นหาโซลูชันแบบอนุกรมไม่ใช่เส้นทางที่มีประสิทธิภาพไปยัง eigenvlaues