ฟังก์ชันเชิงเส้น $\varphi[h]=\lambda\psi[h]$, รูปแบบต่างๆ

Question

จากCalculus of Variations, G&Fปัญหาคือ: กำหนดฟังก์ชันเชิงเส้นสองค่า$\varphi,\psi$ เหนือช่องว่างเชิงเส้น $R$ ดังนั้น $\varphi[h]=0\iff\psi[h]=0$. แสดงว่ามีค่าคงที่$\lambda$ ดังนั้น $$\varphi[h]=\lambda\psi[h]\tag{1}\label{eq1}$$

ปล่อย $S\subset R$ ชุดที่ $\varphi,\psi$เป็นศูนย์ทั้งคู่ สิ่งที่ฉันมีจนถึงตอนนี้คือ:$\bar{h}:=\{k\in R:h-k\in S\}$ แล้วมีอยู่ $\lambda_h$ ดังนั้น $\varphi[k]=\lambda_h\psi[k]$ สำหรับทุกๆ $k\in\bar{h}$ดังนั้นการแบ่งพาร์ติชัน $R$เป็นชุดที่ไม่ปะติดปะต่อโดยที่ \ eqref {eq1} เก็บไว้ นี่คือสิ่งที่ฉันมี ฉันรู้สึกว่าใกล้จะเสร็จสมบูรณ์แล้ว แต่ฉันมองไม่เห็นมันในทันที ขอบคุณ

Answer 1

เคอร์เนลของฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ใช่ศูนย์จะมี codimension เสมอ$1$เนื่องจากทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรก
ก็หมายความว่าถ้า$x\in R\setminus S$ เป็นองค์ประกอบใดก็ได้ร่วมกับ $S$ ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดแล้วดังนั้น $R={\rm span}(x)\oplus S$.
แก้ไขไฟล์$x$.

แน่นอนใช้ $\lambda:=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}$อย่างที่คุณทำในท้องถิ่นที่ $x$'.

สำหรับสเกลาร์ใด ๆ $\alpha$ และ $s\in S$ เรามี $$\lambda\psi(\alpha x+s)=\lambda\alpha\psi(x)=\alpha\varphi(x)=\varphi(\alpha x+s)\,.$$