Fibrant ทดแทน functor

Question

ในตัวอย่างด้านล่าง (นำมาจากหนังสือ MC ของ Hovey) ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น $$X\mapsto QX$$แต่ทิศทางกลับกัน:$$QX\to X$$เหรอ?

นอกจากนี้ฉันต้องการที่จะเข้าใจในย่อหน้านั้นว่าอย่างไร $\alpha$ และ $\beta$ใช้เพื่อรับ functors ทดแทนเหล่านี้: ทั้งคู่ใช้สำหรับ functor ทดแทน cofibrant หรือไม่

Answer 1

สัจพจน์ของการแยกตัวประกอบของ functorial ยืนยันว่าทุกปัจจัยของแผนที่โดยการปรับความสัมพันธ์ตามด้วยการแปรสภาพแบบอะไซโคล (เล็กน้อย) (และคุณยังสามารถเลื่อนส่วนที่ "เล็กน้อย" ไปยังปัจจัยการปรับความคมชัดได้) รับแผนที่$\varnothing \to X$ซึ่งมักจะมีอยู่ในรูปแบบ $\varnothing$ เริ่มต้นเราใช้สัจพจน์นี้เพื่อหาตัวประกอบ $$ \varnothing \to QX \to X $$โดยที่ครั้งแรกคือการปรับเทียบเคียงและครั้งที่สองคือการปรับแสงเล็กน้อย นี่คือแผนที่ของคุณ$QX \to X$. อย่างไรก็ตามกระบวนการทำเช่นนี้เป็น functor ที่ทำหน้าที่เป็น$X \mapsto QX$. ว่านี่คือ functor คือ "functorial" ในการแยกตัวประกอบของ functorial นี่ไม่ได้หมายความว่ามีแผนที่$X \to QX$. กล่าวอีกนัยหนึ่งการแทนที่คนรักกันจะทำให้เกิด functor$Q$ ด้วย $Q(X)=QX$. เขาเขียนสิ่งนี้เป็น$X \mapsto QX$ (และไม่ $X \to QX$ซึ่งจะหมายถึงสิ่งที่แตกต่างและไม่ถูกต้อง)