Green's Theorem และ Line Integrals

Question

ดังนั้นฉันควรจะใช้ทฤษฎีบทสีเขียวเพื่อคำนวณอินทิกรัลของเส้น

$$ \int_{C_1} \frac{x^2-1}{x^2+4y^2}dx +\frac{x}{x^2+4y^2}dy $$

ที่ไหน $C_1$ คือส่วนหนึ่งของพาราโบลา $y=1-x^2$ จากจุด $(1,0)$ ถึง $(-1,0)$

ปัญหาแรกของฉัน:ฉันสามารถคำนวณได้$\partial P/ \partial y$ และ $\partial Q/ \partial x$แต่มันน่าเบื่อมากจริงๆ มีวิธีอื่นในการคำนวณหรือไม่? ฉันคิดเกี่ยวกับการพิจารณาอนุพันธ์ที่ประเมินเฉพาะที่พาราโบลาในแบบที่ฉันเขียนได้$x^2-1=-y$ แต่ฉันไม่รู้ว่าจะทำได้ไหมเพราะเมื่อเราคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวที่ทฤษฎีบทของกรีนเรากำลังพิจารณาพื้นผิวทั้งหมด

อย่างไรก็ตามฉันพบ $\partial Q/ \partial x - \partial P/ \partial y = 0$. จากนั้นเนื่องจากทฤษฎีบทกำหนดให้ฉันมีเส้นทางปิดฉันจึงเลือก "เส้นทางที่สอง" ของฉันเป็นจุดไข่ปลา$x^2+4y^2=1$. ดังนั้นฉันสามารถเขียน:

$$ \int_{C_1} \frac{x^2-1}{x^2+4y^2}dx +\frac{x}{x^2+4y^2}dy= -\int_{C_2} x^2-1dx +xdy $$

หลังจากนี้เราก็ต้องทำเครื่องหมายจุดไข่ปลาเป็น $y=\frac{1}{2} \sin(t); \enspace x=\cos(t)$.

น่าเศร้าที่คำตอบที่ฉันได้รับไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้อง (ซึ่งก็คือ$\pi/2$). ฉันทำอะไรผิด / มีวิธีดำเนินการที่ดีกว่านี้ไหม

ขอขอบคุณคำแนะนำ / การแก้ไขใด ๆ

Answer 1

เรามีสิ่งนั้น

$$\int_{C_1} \frac{x^2-1}{x^2+4y^2}dx + \frac{x}{x^2+4y^2}dy = \int_{C_1} \frac{-y}{x^2+4y^2}dx+\frac{x}{x^2+4y^2}dy$$

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $C_1$ $y=1-x^2$. ฟิลด์เวกเตอร์ใหม่นี้เป็นแบบอนุรักษ์นิยมในภูมิภาคใด ๆ ที่ไม่มีต้นกำเนิด ในการใช้ทฤษฎีบทของกรีนให้ปิดลูปด้วยครึ่งบนของวงรี$x^2+4y^2=1$ ซึ่งหมายความว่า

$$I = \int_{x^2+4y^2=1\:\cap\:y\geq 0} -ydx + xdy = \frac{\pi}{2}$$