เหตุใด Pi จึงไม่ทำซ้ำ

Question

โอเคฉันเพิ่งเรียนรู้หลักการ Pigeonhole (PHP) และแอปพลิเคชันที่มีการขยายทศนิยม

เพื่อให้คำถามของฉันชัดเจนฉันต้องถ่ายทอดความเข้าใจเกี่ยวกับ PHP เกี่ยวกับการขยายทศนิยมดังนั้นต่อไปนี้ ...

---

โดยกระบวนการหารยาวเราจะได้รับเศษเหลือไม่ จำกัด นับตั้งแต่ $0$ยังถือเป็นส่วนที่เหลือ (อ้างถึงเพื่อFig 1ให้ได้สิ่งที่ฉันหมายถึง) ซึ่งก็คือ$>$จำนวน จำกัด ของค่าที่เหลือที่เป็นไปได้ (ตามทฤษฎีบทผลหาร - เศษเหลือ$0≤r<d $)

→โดยPHPเราจะได้รับส่วนที่เหลือซึ่งมีค่าเหมือนกับค่าของส่วนที่เหลือก่อนหน้าอย่างแน่นอน (ในรูปที่ 1 เราได้คะแนนเมื่อ r ₇ = r ₁ )

→ในบางจุดลำดับของส่วนที่เหลือจะทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุด

→ลำดับของเศษเหลือนี้อาจเป็นศูนย์หรือไม่ใช่ศูนย์ก็ได้

→ถ้ามันเป็นลำดับของศูนย์เราจะได้การยุติทศนิยมเช่น $2$(เช่นเดียวกับใน $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) หรือ$ 3.625 $ (เช่น$ 3.625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)

→ถ้ามันเป็นลำดับของที่ไม่ใช่ศูนย์เราจะได้ทศนิยมซ้ำเช่น $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$

คำถามของฉัน: เหตุใด PI จึงไม่อยู่ในประเภทใดประเภทหนึ่งเหล่านี้ มันละเมิดPHPหรือไม่?

---

ขออภัยสำหรับภาพหน้าจอล่วงหน้า

รูปที่ 1:

Answer 1

ขั้นตอนที่สองของการอนุมานของคุณจำเป็นต้องมีเหตุผลที่ดีกว่า โปรดทราบว่าในการตั้งค่าตัวหาร$d$ต้องเป็นจำนวนเต็มเพื่อให้แอปพลิเคชัน PHP มีความหมาย ตอนนี้มีสองกรณี

1. เงินปันผลคือจำนวนเต็มซึ่งแสดงเป็น $n.00000\ldots$. จากนั้นคุณสามารถใช้ PHP เพื่อโต้แย้งว่าในส่วนที่เหลือที่ได้รับหลังจากจุดทศนิยมซ้ำ คุณมี$r_k=r_{k+n}$ สำหรับ $k,n$ได้รับหลังจุดทศนิยม จากนั้นคุณต้องโต้แย้งเพิ่มเติมว่าการนำลง$0$ ที่ $r_{k+n}$ ให้รูปแบบการหารความยาวเป็นระยะ $n$ จากนั้นไปซึ่งจะให้ทศนิยมซ้ำในคำตอบของคุณในที่สุด

2. เงินปันผลไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่เป็นจำนวนจริงตามอำเภอใจ ในกรณีนี้ PHP บอกว่าคุณได้รับส่วนที่เหลือซ้ำกัน แต่คุณจะไม่สามารถโต้แย้งได้อีกว่าในที่สุดรายชื่อส่วนที่เหลือจะเกิดซ้ำ ตัวอย่างเช่นพิจารณาการหาร$2$ เป็น $0.10100100010000\ldots$ (ที่นี่ฉันมี $1$ ติดตามโดย $n$ ศูนย์สำหรับ $n=1$ ถึง $\infty$). รายการที่เหลือของคุณคือ$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$โดยไม่ซ้ำซาก อย่างไรก็ตามแม้ว่าคุณจะได้ลำดับส่วนที่เหลือซ้ำ แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าคำตอบของคุณจะเป็นทศนิยมซ้ำ ตัวอย่างเช่นพิจารณาจำนวนจริงใด ๆ$x$แสดงเป็นทศนิยม $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. แบ่งส่วนยาวเล็กน้อยของ$1$ เป็น $x$. คุณจะได้รับส่วนที่เหลือ$0$ ในแต่ละครั้ง แต่ลำดับทศนิยมในผลหารไม่จำเป็นต้อง (ในที่สุด) ซ้ำ

ตอนนี้สำหรับ $\pi$, มันมีเพื่อให้พอดีกับกรณีที่สองเพราะถ้าคุณเริ่มต้นหารยาวของคุณด้วยการจ่ายเงินปันผลและตัวหารเป็นจำนวนเต็มแล้วคุณมีอยู่แล้วในการคำนวณจำนวนจริง

Answer 2

$\pi$เป็นจำนวนที่ยอดเยี่ยมและไม่ใช่จำนวนที่มีเหตุผล อาร์กิวเมนต์ PHP ดูเหมือนจะใช้กับตัวเลขที่มีเหตุผล

Answer 3

คุณสันนิษฐานว่าคุณสามารถคำนวณได้ $\pi$ โดยการหารตัวเลขหนึ่งด้วยจำนวนหลักที่ทราบและแน่นอนด้วยตัวเลขอื่นด้วยจำนวนหลักที่ทราบและแน่นอน

นี่คือคำจำกัดความของความหมายของจำนวนที่จะเป็นเหตุเป็นผล และแน่นอนอาร์กิวเมนต์ของคุณเป็นข้อพิสูจน์ที่ถูกต้องว่าการแทนค่าทศนิยมของจำนวนตรรกยะจะเกิดขึ้นซ้ำ

แต่ $\pi$ไม่เป็นเหตุเป็นผล ไม่สามารถคำนวณได้โดยการหารตัวเลขหนึ่งด้วยจำนวนหลักที่ทราบจำนวน จำกัด ด้วยตัวเลขอื่นโดยมีจำนวนหลักที่ทราบและแน่นอน