หลักฐานทางชีววิทยา

Question

ปล่อย $A$ และ $B$ มีจำนวน จำกัด พิสูจน์ได้ว่า $|A\times B|=|A||B|$.

ตั้งแต่ $A$ และ $B$ เป็นเซต จำกัด จากนั้นสามารถแสดงได้ดังนี้ $$A=\{a_1,\ldots,a_m\}\quad \text{and}\quad B=\{b_1,\ldots, b_n\}$$ จากนั้นฉันกำหนดฟังก์ชัน $$\varphi:A\times B\to \{1,2,3,\ldots,mn\}=I_{mn}$$ ให้โดย $$\varphi(a_i,b_j)=(i-1)n+j$$ ใครช่วยฉันพิสูจน์หรือพิสูจน์ได้อย่างไรว่าฟังก์ชันนี้มีอคติ

Answer 1

ฉันคิดว่าคุณควรพิสูจน์ว่า:

ระบุตัวเลขธรรมชาติ $m$ และ $n$ และปล่อยให้ $f: \mathbb{N}_{m} \times \mathbb{N}_{n}\to \mathbb{N}_{mn}$โดย $$f(i,j)=(i-1)n+j$$ดังนั้น, $f$ เป็นอคติ

คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทการหารตัวอย่างเช่นคุณอาจต้องจัดการกับตัวเลข $\mathbb{N}_{mn}$ ที่หารด้วย $n$ เป็นกรณีแยกต่างหาก

อีกแนวทางหนึ่ง [1]:คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า$A$ และ $B$ เป็นชุดที่ จำกัด แล้ว $A\times B$ กำหนดไว้แน่นอนและ $$|A\times B|=|A||B|$$ โดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ถ้า $\{b\}$ เป็นซิงเกิลตันแล้ว $|A\times \{b\}|=|A|$.
2. ถ้า $B=\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\}$แล้ว $$A\times B=\bigcup_{i=1}^{n}\left(A\times \{b_{i}\}\right)$$
3. สุดท้ายนี้คุณสามารถสรุปได้ว่า $$|A\times B|=mn=|A||B|$$

อีกวิธีหนึ่ง [2]:คุณสามารถใช้การเหนี่ยวนำได้$|B|$. เป็นการพูดพิสูจน์สิ่งนั้น$$\forall n \in \mathbb{N}, \forall A,B: |A|,|B|<\infty \wedge |B|=n \implies |A\times B|<\infty \wedge |A\times B|=|A|n$$

Answer 2

สำหรับใด ๆ $0\lt k \leq mn~ \exists q, r~(k=qn+r)$ ด้วย $0 \leq r \lt n$ และ $q \in \Bbb N$. โปรดทราบว่า$q, r$มีเอกลักษณ์เฉพาะกับคุณสมบัติเหล่านั้น ถ้า$r=0$, แผนที่ $f: k \mapsto (q-1, r)$. ถ้า$r \neq 0$, แผนที่ $f: k \mapsto (q, r)$. นี้$f$ เป็น bijection ที่คุณต้องการ