homomorphism ของผลิตภัณฑ์

Question

ปล่อย $(G,+)$ และ $(H,\star)$ เป็นกลุ่ม (ตามลำดับความสัมพันธ์ $+$ และ $\star$). ปล่อย$f$ และ $g$ เป็น homomorphisms กลุ่ม $f,g:G \to H$.

การอ้างสิทธิ์: ถ้า $H$ คือ abelian ตามด้วยแผนที่ผลิตภัณฑ์ $f \cdot g,\,x \mapsto f(x) \star g(x)$ ยังเป็น homomorphism

ฉันสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้ แต่ตอนนี้ฉันกำลังสงสัยว่ามีตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม แต่เรียบง่ายเมื่อใด $H$ ไม่ใช่ abelian ... (เช่นมีจำนวนเต็มอยู่ภายใต้การบวกหรือคล้ายกัน ... )

Answer 1

คุณสามารถพิจารณาการคูณทางซ้ายได้ $\ell_\pi:S_n\rightarrow S_n:\sigma\mapsto\pi\sigma$ ด้วยการให้ $\pi\in S_n$, ที่ไหน $S_n$ เป็นกลุ่มสมมาตรบน $n$ สถานที่

ชุดการคูณทางซ้าย $L(S_n)$ สร้างกลุ่มภายใต้องค์ประกอบของฟังก์ชันตั้งแต่ $\ell_\pi\ell_\sigma=\ell_{\pi\sigma}$, $(\ell_\pi)^{-1} = \ell_{\pi^{-1}}$ และ $\ell_e= id$ คือการแมปเอกลักษณ์โดยที่ $e$ คือการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัว

พิจารณาการทำแผนที่ $F:S_n \rightarrow L(S_n):\pi\mapsto \ell_\pi$ซึ่งเป็น homomorphism ตั้งแต่ $F(\pi\sigma) =\ell_{\pi\sigma} = \ell_\pi\ell_\sigma = F(\pi)F(\sigma)$.