Homotopy ระหว่าง Homeomorphisms

Question

ปล่อย $X=\mathbb{R}^n$, $\phi_0,\phi_1:X\rightarrow X$เป็น homeomorphisms อัตโนมัติ เมื่อไหร่ที่เราสามารถสร้าง homotopy$$ \begin{aligned} \Phi &:X\times [0,1]\rightarrow X\\ &(x,t)\mapsto \Phi(x,t) \end{aligned} $$ ดังนั้น $\Phi(x,i)=\phi_i(x)$สำหรับ $i=0,1$ และสำหรับแต่ละคน $t \in [0,1]$, $x\mapsto \Phi(x,t)$ homeomorphism คืออะไร?

Answer 1

นี่คือการถามเกี่ยวกับองค์ประกอบเส้นทางของช่องว่าง $\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$.

มาทำคำถามอุ่นเครื่องซึ่งก็คือการคำนวณองค์ประกอบเส้นทางของ $\operatorname{Diffeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$. โดยการแปลการรวมความแตกต่างของการแก้ไขจุดเริ่มต้นคือการถอนการเสียรูปดังนั้นเราอาจสันนิษฐานได้ว่า diffeomorphisms ของเราแก้ไขจุดเริ่มต้น

ใกล้แหล่งกำเนิดแผนที่ $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ทำหน้าที่เหมือนเมทริกซ์ของอนุพันธ์บางส่วน โดยพื้นฐานแล้วเราจะให้เส้นทางจาก$f$ ถึง $f'$ ขึ้นอยู่กับอย่างต่อเนื่อง $f$. ดังนั้นเราจึงมีการถอนการเสียรูปของ$\operatorname{Diffeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$ ถึง $GL_n(\mathbb{R})$และส่วนหลังมีองค์ประกอบเส้นทางสองส่วนซึ่งกำหนดโดยระดับของแผนที่ ดูhttp://people.math.harvard.edu/~kupers/teaching/272x/book.pdf ทฤษฎีบท 9.1.1 สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่แม่นยำ

กรณีโทโพโลยีที่ยากกว่ามาก แต่จากด้านบนคุณอาจคาดเดาได้ว่ามีองค์ประกอบเส้นทางสองส่วนขึ้นอยู่กับระดับของแผนที่ มันอาศัยทฤษฎีบทที่ยากว่า homeomorphisms ระดับ 1 ทั้งหมดของ$\mathbb{R}^n$ มีความเสถียรซึ่งหมายความว่าพวกมันเป็นองค์ประกอบของ homeomorphisms ที่เป็นเอกลักษณ์ของส่วนย่อยที่เปิดอยู่

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสภาวะธรรมชาติที่มีเสถียรภาพนั้นเป็นไอโซโทปของอัตลักษณ์ดังนั้นจึงมีองค์ประกอบสองเส้นทางของ $\operatorname{Homeo}(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n)$. สำหรับการอ้างอิงฉันขอแนะนำให้คุณไปที่บทที่ 26 ของบันทึกข้างต้นโดย Kupers

ดังนั้นเพื่อที่จะตอบคำถามของคุณโดยตรงคุณมี homotopy เช่นนั้นถ้าทั้งสองเป็นการรักษาแนวหรือทั้งสองอย่างกลับด้าน