Isomorphism ของ $S^1$.

Question

กำหนด $S^1 = \{ z \in \mathbb{C^*} \: : \: |z| = 1 \}$. คำถามของฉันคือมีแหวนอยู่หรือไม่$R$ ดังนั้น $(R, + )$ isomorphic ถึง $S^1$เหรอ? สัญชาตญาณของฉันบอกว่าไม่ แต่ฉันจะแสดงออกอย่างไร

Answer 1

คำตอบคือไม่: $S^1$ หารไม่ได้มีความหมายสำหรับใด ๆ $x\in S^1$ และใด ๆ $n\in \mathbb Z$มี $y$ ด้วย $y^n = x$. ถ้าเราเขียน$S^1$ สิ่งนี้กล่าวเสริม $ny = x$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า $e$ คือหน่วยคูณของโครงสร้างวงแหวนบน $S^1$, $e$ หารไม่ได้ซึ่งโดยเฉพาะโดยนัยว่า $n\cdot e$ ไม่สามารถกลับด้านได้สำหรับทุกๆ $n$: ปล่อย $y$ พอใจ $n\cdot y =e$แล้ว $e= n\cdot y = (n\cdot e)y$.

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า $n\cdot x = 0$แล้ว $(n\cdot e) x= 0$, ดังนั้น $x=0$: นั่นหมายความว่า $S^1$ ไม่มีแรงบิดซึ่งไม่ใช่

Answer 2

นี้ไม่ได้เป็นคำตอบสำหรับคำถาม ที่นี่ฉันจะตอบคำถามต่อไปนี้ มีโครงสร้างวงแหวนรวมอยู่หรือไม่$(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$ ต่อไปนี้ส่วนความคิดเห็น

สมมติว่ามีการดำเนินการอื่น $\bullet$ ดังนั้น $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$ กลายเป็นแหวนด้วย $\bullet$- ความเป็นตัวตน $e\in\Bbb R/\Bbb Z$ ที่เรามี $k\in \Bbb N$ ด้วย $ 0=e+...+e(k$- เวลานอกจากนี้$)$, ที่ไหน $ 0$ เป็นเอกลักษณ์เพิ่มเติมของ $(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$. ตอนนี้สำหรับใด ๆ$x\in\Bbb R/\Bbb Z$ เรามี $$x+...+x=(e\bullet x)+...+(e\bullet x)=(e+...+e)\bullet x=0\bullet x=0,$$ ซึ่งบอกเราว่า ecah $x\in\Bbb R/\Bbb Z$ ต้องมีมากที่สุด $k$- ตามคำสั่งเพิ่มเติมความขัดแย้งตั้งแต่ $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$มีองค์ประกอบของคำสั่งซื้อทั้งหมด เหนือสิ่งอื่นใดแสดงถึง$k$- เวลานอกจากนี้

ข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของข้อเท็จจริง หากกลุ่มมีองค์ประกอบของทุกคำสั่งและแต่ละองค์ประกอบมีลำดับ จำกัด ก็จะไม่มีโครงสร้างวงแหวนรวมกันในกลุ่ม

สิ่งที่เหลืออยู่คือไม่มีแหวนรวม $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$ เขียนการคูณ $*$ ดังนั้น $*$- ความเป็นตัวของ $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$มีคำสั่งเติมที่ไม่มีที่สิ้นสุด? กล่าวอีกนัยหนึ่ง$*$- ความเป็นตัวตนอยู่ในรูปแบบ $\alpha+\Bbb Z$ สำหรับความไม่ลงตัวบางอย่าง $\alpha?$

ตอบคำถามที่สอง:ถ้า$(\Bbb R/\Bbb Z,+,∗)$ เป็นแหวนที่มีหน่วย $u$ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $\Bbb R/\Bbb Z$ หารลงตัวจะมีองค์ประกอบ $v$ ดังนั้น $v+v=u$, แต่แล้ว $\overline{1/2}=u∗\overline{1/2}=(v+v)∗\overline{1/2}=v∗(\overline{1/2}+\overline{1/2})=v*\overline 1=v*\overline 0=\overline 0$ความขัดแย้ง