การหมุนของ Spinor
ฉันมีคำถามเกี่ยวกับวิธีการที่ใช้งานง่ายเกี่ยวกับสปินเนอร์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่างที่มีคุณสมบัติบางอย่างที่ทำให้พวกมันคล้ายกับเวกเตอร์ แต่ในทางกลับกันมีคุณสมบัติที่สปินเนอร์ต่างจากเวกเตอร์:
Wiki ให้คำอธิบายเชิงเรขาคณิตของสปินเนอร์:
"ซึ่งแตกต่างจากเวกเตอร์และเทนเซอร์สปินเนอร์จะเปลี่ยนเป็นค่าลบเมื่อพื้นที่ถูกหมุนอย่างต่อเนื่องตลอดการเลี้ยวจาก $0°$ ถึง $360°$ (ดูภาพ). "
แหล่งข้อมูลอื่นระบุยิ่งไปกว่านั้นถ้าคุณหมุนสปินเนอร์โดย $720°$องศาที่คุณได้รับสปินเนอร์เดียวกัน เห็นได้ชัดว่าถ้าเราหมุนเวกเตอร์ตามปกติโดย$360°$เราได้เวกเตอร์เดียวกัน ดังนั้นสปินเนอร์จึงไม่ใช่เวกเตอร์ตามปกติ
คำถาม : สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคืออะไรคือ 'การหมุนของสปินเนอร์' อย่างแม่นยำ สามารถอธิบาย 'การหมุนเวียน' แบบนี้ได้อย่างไร?
ฉันรู้ว่าคำถามฟังดูซ้ำซาก แต่ถ้าเราจำได้ว่าการหมุนเวียนในความรู้สึกไร้เดียงสาทั่วไปคืออะไรเราจะนึกถึงการหมุนเวียนในกรอบที่เป็นรูปธรรมมาก: การหมุนที่ไร้เดียงสาเป็นการดำเนินการโดยองค์ประกอบจากกลุ่ม $SO(3)$ บนพื้นที่จริง $\mathbb{R}^3$. เนื่องจากสปินเนอร์ไม่ได้อยู่ใน$\mathbb{R}^3$ ฉันคิดว่าจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องระบุให้ชัดเจนว่าอะไรคือ 'roation' ในพื้นที่ที่สปินเนอร์อาศัยอยู่
ให้วาดภาพเปรียบเทียบกับเวกเตอร์ปกติ & $3D$พื้นที่ การหมุนตามปกติใน$3D$ ถูกกำหนดโดยแกนหมุน $\vec{b}$ และมุมการหมุน $\phi$. พูดว่า wlog เราหมุนไปรอบ ๆ$z$- แกนตามมุม $\phi$จากนั้นการหมุนจะถูกถอดรหัสโดย $3 \times 3$ เมทริกซ์ $R_{\phi} \in SO(3)$
$$R_{\phi}= \begin{pmatrix}cos(\phi)&-sin(\phi)&0\\sin(\phi)&cos(\phi)&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$
นั่นคือถ้า $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ จากนั้นการหมุนของ $\vec{v}$ เป็นเพียง $R \vec{v}$.
แต่ 'การหมุนของสปินเนอร์' คืออะไร? อธิบายอย่างไร?
เพื่อความเรียบง่ายให้มุ่งเน้นไปที่การแสดงสปินเนอร์ที่พบมากที่สุดจากฟิสิกส์ของอนุภาค: กลุ่มย่อย $SU(2) \subset SL(2, \mathbb{C})$ ให้การเชื่อมต่อที่ง่ายดาย $2$ ถึง $1$ ครอบคลุมแผนที่ $f:SU(2) \to SO(3)$ของกลุ่มการหมุน อย่างชัดเจน$SU(2)$ ทำหน้าที่เป็นกลุ่มย่อยของ $SL(2, \mathbb{C})$ บนพื้นที่เวกเตอร์ที่ซับซ้อน $\mathbb{C}^2$. เนื่องจากในการตั้งค่านี้$SU(2)$ ให้การแสดงสปินเนอร์ที่เราสามารถเรียกเวกเตอร์บางตัวได้ $\mathbb{C}^2$ 'spinors' ใช่ไหม?
แต่การหมุนของสปินเนอร์ที่นี่คืออะไร? สมมติว่าเราใช้สปินเนอร์ตามอำเภอใจ$s \in \mathbb{C}^2$ และต้องการ 'หมุน' รอบแกนที่แน่นอนตามองศาคงที่ $\phi$. วัตถุใดใน$SU(2)$ แสดงถึงสิ่งนี้ที่เรียกว่า 'การหมุน' และเหตุใดการทำงานของสปินเนอร์จึงเรียกว่า 'การหมุน'?
คำตอบ
การหมุนของสปินเนอร์ $\psi$ (ดูเหมือนเวกเตอร์ 2 ตัวที่ซับซ้อน) ตามมุม $\phi$ รอบแกนหน่วย $\hat n$ เป็น แต่ $$ \psi \mapsto e^{i {\phi\over 2} \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} \psi= \left (I\cos {\phi\over 2} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin {\phi\over 2}\right ) \psi , $$ ที่ไหน $\vec \sigma$ คือเมทริกซ์ Pauli สามตัวซึ่งเป็นสองเท่าของเครื่องกำเนิดการหมุนในการแทนค่าสองเท่า
คุณสามารถดูได้ว่าการหมุน2πเป็นจำนวนเท่าใดในการพลิกสัญลักษณ์และสองเท่าของจำนวนนั้นเป็นค่าตัวตน
เมทริกซ์ Pauli และ Dirac เป็นเวกเตอร์พื้นฐานของClifford algebrasของ 3d Euclidean space และ 3 + 1d Minkowski space ตามลำดับ หากคุณต้องการเข้าใจสปินเนอร์คุณอาจต้องเข้าใจ Clifford algebras
ใน Clifford algebras การสะท้อนผ่านจุดกำเนิดจะแสดงด้วยเวกเตอร์หน่วย (คิดว่าเป็นค่ามาตรฐานพื้นผิวของกระจก) ผลิตภัณฑ์เกี่ยวกับพีชคณิตประกอบด้วยการสะท้อน เวกเตอร์สามารถเขียนเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของเวกเตอร์พื้นฐานได้เช่นเดียวกับในปริภูมิเวกเตอร์พื้นฐาน ในการแสดงเมทริกซ์ Pauli / Dirac เมทริกซ์ Pauli / Dirac เป็นเวกเตอร์พื้นฐาน ($\hat t$), $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$.
การหมุนใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของการสะท้อนกลับจำนวนเท่ากันได้ ในอวกาศแบบยูคลิด 3 มิติผลคูณของคลิฟฟอร์ดของเวกเตอร์หน่วยจำนวนคู่อาศัยอยู่ในพื้นที่ย่อยของพีชคณิตที่มีไอโซมอร์ฟิกของควอเทอร์เนียนของหน่วย ใน 3 + 1D คอฟสกีพื้นที่สเปซคือ isomorphic ไปยังหน่วยbiquaternions
หากต้องการสะท้อนเวกเตอร์ในกระจกคุณต้องคูณมันทั้งสองด้านด้วยการแสดงพื้นผิวของคลิฟฟอร์ดตามปกติ (และอาจเป็นปัจจัยของ $-1$). คุณสามารถโน้มน้าวตัวเองได้จากการตีความสะท้อนของพีชคณิตว่าสิ่งนี้สมเหตุสมผล ในการหมุนเวกเตอร์คุณต้องผันเวกเตอร์ด้วยผลิตภัณฑ์คู่ที่เหมาะสมโดยที่ผกผันเป็นผลิตภัณฑ์เดียวกันในลำดับย้อนกลับ
สปินเนอร์แปลงร่างโดยการคูณด้วยการแทนค่าเดียวกันของการสะท้อน / การหมุน แต่เพียงด้านเดียวไม่ใช่ทั้งสองด้าน
ฉันคิดว่าความเข้าใจทางเรขาคณิตทั่วไปของสปินเนอร์เป็นปัญหาที่เปิดกว้าง อย่างไรก็ตามอย่างน้อยในมิติที่ต่ำ (อาจรวมถึง 3 + 1) เป็นไปได้ที่จะคิดว่า Clifford เป็นตัวแทนของสปินเนอร์เป็นตัวหมุนตั้งแต่ "การวางแนวสปินเนอร์แบบบัญญัติ" ไปจนถึงการวางแนวจริง การหมุนสปินเนอร์จึงหมายถึงการสร้างตัวแทนด้วยการหมุนอีกครั้ง
เหตุผลสำคัญที่ต้องใช้การหมุน 720 °เพื่อกลับไปยังแนวเดิมคือการสะท้อนผ่านกระจกสองมุม $θ$ แยกกันหมุนวัตถุโดย $2θ$. เมื่อคุณหมุนกระจกถึง 180 °ระนาบของกระจกจะกลับสู่ตำแหน่งเดิม แต่พื้นผิวปกติชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามและการแสดงการหมุนเป็นผลคูณของเวกเตอร์จึงทำให้เกิดปัจจัย$-1$.
เนื่องจากคุณกำลังถามเกี่ยวกับสัญชาตญาณคำตอบของฉันจะเป็นไปในทิศทางนั้น คุณไม่ควรเชื่อมโยงการหมุนกับเวกเตอร์ทางจิตใจ$\mathbb{R}^3$. แต่คุณควรเชื่อมโยงกับกลุ่ม$SO(3)$. นอกจากนี้คุณควรนึกถึง$SO(3)$ เป็นกลุ่มนามธรรมไม่ใช่ชุดของ $3\times 3$เมทริกซ์ ชุดของเมทริกซ์ 3x3 ค่อนข้างเป็นเพียงการแสดงกลุ่มบนพื้นที่จริง 3 มิติ สิ่งนี้มีประโยชน์ในฟิสิกส์คลาสสิกที่ทิศทางในอวกาศมี 3 องศาอิสระที่แท้จริง
แต่เห็นได้ชัดว่ามีหลายสิ่งในโลกนี้ที่มีระดับของเสรีภาพที่คุณอาจไม่คุ้นเคยในโลกคลาสสิก แต่กระนั้นก็เป็นสิ่งที่มีอยู่จริง เช่นระดับความอิสระในการหมุนของอิเล็กตรอน สิ่งเหล่านี้อธิบายโดยสปินเนอร์ (องค์ประกอบของ$\mathbb{C}^2$) และไม่ใช่เวกเตอร์ใน $\mathbb{R}^3$.
ตอนนี้ในฟิสิกส์เราชอบการสร้างเส้นตรงและการขยายเทย์เลอร์ มันให้สิ่งที่เป็นเส้นตรงและใช้งานได้ง่าย ดังนั้นแทนที่จะพูดถึงการแปลและการหมุนเวียนเราชอบนึกถึงอนุพันธ์แรกของพวกเขาในการขยายตัวของเทย์เลอร์ คือความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม (ซึ่งเป็นสัดส่วนกับโมเมนต์และโมเมนต์เชิงมุม) คุณอาจรับรู้ความเร็วเชิงมุมเป็นเวกเตอร์ (หลอก)$\omega_i$แต่ในความเป็นจริงมันเทียบเท่ากันและบางครั้งก็สะดวกกว่าในการแสดงความเร็วเชิงมุมเป็นเมทริกซ์แอนตีซิมเมตริก 3x3 $W_{ij} = \epsilon_{ijk}\omega_k$. คุณอาจรู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณยกกำลังเมทริกซ์แอนตีซิมเมตริกดังกล่าว: คุณจะได้$SO(3)$เมทริกซ์ที่ทำให้เกิดการหมุนเวียนแบบ จำกัด ในกลศาสตร์คลาสสิกอย่างแม่นยำยิ่งขึ้นคุณจะต้องเขียน (ด้วยวงเล็บปัวซองและ$L_z$ โมเมนตัมเชิงมุมในทิศทาง z): $R_\phi = e^{\{\phi L_z, \cdot\}}$
ในกลศาสตร์ควอนตัมสำหรับองศาอิสระในการหมุนคุณจะรู้ว่าตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมในทิศทาง z คือ $\mathbf{\frac{1}{2}}\sigma_z$. สังเกตครึ่ง. เมทริกซ์การหมุนที่ซับซ้อน 2x2 ตามมุม$\phi$ รอบ ๆ แกน z จะเป็นเพียง $R_\phi = e^{i\phi\frac{1}{2}\sigma_z}$. ครึ่งหนึ่งคือสิ่งที่นำไปสู่ครึ่งหนึ่งในอาร์กิวเมนต์มุมครึ่งและ$720^\circ$เคล็ดลับ. ทางร่างกายนี่เป็นเพียงสิ่งที่เกิดขึ้นกับสิ่งเหล่านี้$\mathbb{C}^2$ องศาอิสระภายใต้การหมุน
โดยส่วนตัวฉันไม่พบว่ามันน่าแปลกใจมากนัก องศาอิสระในการหมุนของอิเล็กตรอนเพิ่งเกิดขึ้นเพื่อเปลี่ยนรูปแบบบางส่วนภายใต้การหมุน ความเร็วเชิงมุมสามองศาของความอิสระที่แสดงเป็นเวกเตอร์เปลี่ยนรูปอย่างสนุกสนานภายใต้การสะท้อน แต่ไม่มีอะไรลึกซึ้งเกี่ยวกับมัน ตัวอย่างเช่นมวลหรืออุณหภูมิของวัตถุไม่เปลี่ยนรูปเลยภายใต้การหมุนไม่น่าแปลกใจ องศาอิสระในการหมุนของอิเล็กตรอนเปลี่ยนไปอย่างสนุกสนานภายใต้การหมุนรอบตัวทำไมถึงน่าแปลกใจ