การประเมิน Lebesgue Integral

Question

ฉันมีปัญหากับประเด็นที่สองของคำถามนี้และฉันไม่แน่ใจว่าทำถูกต้องก่อน:

สำหรับ $x\in\mathbb{R} - \{0\}$, ปล่อย $f_n(x) = \frac{1}{(1 + n^2 + x^2)(\arctan (x^2))^{1/n}}$, $n \in\mathbb{N} - \{0\}$

(i) กำหนดสิ่งที่ $n ∈ \mathbb{N}, f_n$ ∈ $L^1(\mathbb{R})$

(ii) ประเมิน $\lim_{n\to \infty}$ $\int_{\mathbb{R}} f_n \,dm$;

สำหรับส่วนกำปั้นฉันสังเกตเห็นว่า $f_n$ เป็น ae ต่อเนื่องซึ่งหมายความว่าสามารถวัดได้และฟังก์ชั่นนั้นเท่ากันดังนั้นฉันสามารถ จำกัด การวิเคราะห์ของฉันให้แคบลง $[0, \infty )$.

แล้วเมื่อไหร่ $x\rightarrow\infty, \, f_n \sim \frac1{x^2\bigl({\pi\over2} \bigr)^{1 \over n}} \le {1 \over {x^2}}$ ดังนั้นฉันสามารถพูดได้ว่าอินทิกรัลมาบรรจบกันสำหรับทุกๆ $n\in\mathbb{N} - \{0\}$

แทนเมื่อ $x \rightarrow 0$, $f_n \sim \frac1{(1+x^2)x^{2 \over n}} \le {1 \over {x^{2\over n}}}$ ที่มาบรรจบกันสำหรับทุกๆ $n \gt 2 $. จากนั้นเราก็มาถึงจุดที่สองที่นี่ฉันไม่พบวิชาเอกที่สำคัญที่จะใช้ทฤษฎีบทการลู่เข้าที่ครอบงำของ Lebesgue และฉันยังไม่สามารถระบุได้ว่ามีโซ่ประเภทใด$f_1 \le f_2 \le f_3 \le \cdots \le f_n \le \cdots$ เพื่อที่จะใช้ทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์แบบโมโนโทนเพื่อผ่านขีด จำกัด ภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลและประเมิน

นอกจากนี้ฉันคิดว่าอินทิกรัลในท้ายที่สุดเป็นศูนย์เพราะ $\lim_{n\to \infty} f_n = 0$.

ขอบคุณมาก.

Answer 1

เพียงสังเกตว่าสำหรับการแก้ไขใด ๆ $\epsilon \in(0,1)$ แล้ว $0\leqslant f_n(x)\leqslant \frac1{(1+x^2)\arctan (\epsilon ^2) }$ เพื่อทุกสิ่ง $x\in \mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )$ และทั้งหมด $n\in \mathbb{N}$ ดังนั้นทฤษฎีบทการลู่เข้าที่ถูกครอบงำแสดงให้เราเห็นว่า $$ \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}\setminus (-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ ตอนนี้ทราบว่า $|x|/2\leqslant |\arctan x|$ เพื่อทุกสิ่ง $x\in (-\epsilon ,\epsilon )$. ดังนั้น$$ 0\leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda \leqslant \int_{(-\epsilon ,\epsilon )}\frac2{n^2|x|^{2/n}}\mathop{}\!d x =\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y\leqslant \int_{(0,1)}\frac4n\epsilon ^{1-3/n}\mathop{}\!d y $$ จากนั้นทฤษฎีบทการลู่เข้าที่ถูกครอบงำแสดงให้เราเห็นว่า $$ \lim_{n\to\infty}\int_{(0,\sqrt[n]{\epsilon })}\frac4n y^{n-3}\mathop{}\!d y=0\implies \lim_{n\to\infty}\int_{(-\epsilon ,\epsilon )}f_n\mathop{}\!d \lambda =0 $$ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n\mathop{}\!d \lambda =0$.