โครงร่างที่สมบูรณ์ข้อใดเป็นไอโซมอร์ฟิกสำหรับผลิตภัณฑ์ของโครงร่างที่ไม่สามารถวัดได้
ให้ครอบครัวของ latices ที่สมบูรณ์ $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ เซนต์สำหรับทุกคน $i\in I$ เราหมายถึง $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ และ $X=\prod_{i\in I}X_i$ สังเกตว่าเราสามารถกำหนดโครงตาข่ายที่สมบูรณ์ได้ $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (เรียกมันว่าผลิตภัณฑ์ของพวกเขา) บน $X$ เซนต์ $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$กำหนดไว้สำหรับ $a,b\in X$ ดังต่อไปนี้: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ ยังถ้า $S\subseteq X$ แล้ว $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ และ $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ นอกจากนี้เราเรียกตาข่ายใด ๆ ที่มีองค์ประกอบเล็กน้อยและพูดว่าตาข่ายที่สมบูรณ์ $\mathfrak{L}$ จะไม่สามารถลดทอนได้หากไม่มีตระกูลที่มีโครงร่างสมบูรณ์แบบไม่สำคัญสองตระกูลขึ้นไป $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ เซนต์ $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. ตอนนี้จากที่กล่าวมาทั้งหมดคำถามของฉันคือเมื่อใดที่แลตเตอรีสมบูรณ์ isomorphic กับผลิตภัณฑ์ของการขัดแตะที่ไม่สามารถวัดได้ ตัวอย่างเช่นมีเกณฑ์ "เบื้องต้น" หรือ "มีประโยชน์" ในการพิจารณาสิ่งนี้หรือไม่? อะไรคือตัวอย่างของการขัดแตะที่สมบูรณ์ซึ่งไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกสำหรับผลิตภัณฑ์ใด ๆ ของโครงร่างที่ไม่สามารถวัดได้ ใครช่วยให้ฉันได้บ้าง?
การขัดแตะที่สมบูรณ์แบบที่ลืมเลือนไปคือ isomorphic สำหรับผลิตภัณฑ์ของแลตทิซที่ไม่สามารถลดทอนได้เนื่องจากถ้าโครงตาข่ายนั้นไม่สามารถลดทอนได้เราจะทำมิฉะนั้นเราสามารถแยกส่วนนี้ออกเป็นสองช่องซึ่งเป็นจุดย่อยของผู้ปกครองและสามารถแสดงออกได้เป็นช่องตาข่ายในแต่ละชุดที่เล็กกว่า ชุดผู้ปกครองดังนั้นการทำกระบวนการนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีกในที่สุดจะทำให้เรามีเครือข่ายขัดแตะที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งผลิตภัณฑ์ของเรามีค่าเท่ากับพาเรนต์ของเรา (กระบวนการนี้จะต้องยุติลงสำหรับแต่ละตาข่ายเหล่านี้จะอยู่ในชุดที่มีขนาดเล็กกว่าและตามคำจำกัดความของโครงตาข่ายเล็กน้อยใด ๆ ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ ดังนั้นถ้าเราลดแลตทิซใด ๆ ลงเป็นเซตในองค์ประกอบเดียวเราก็ทำเสร็จแล้ว)
นอกจากนี้หากขัดแตะใด ๆ $L_1\cong L_2\times L_3$คือไม่ isomorphic เพื่อ prdouct ของโปรยลดลงแล้ว$L_2$ หรือ $L_3$มีไม่ isomorphic กับผลิตภัณฑ์ของโปรยลดลงจึงได้โดยการใช้กระบวนการก่อนหน้านี้เราเห็นใด ๆ ตาข่ายไม่ isomorphic เพื่อ prdouct ของโปรยลดลงไม่ได้จะต้องมีจำนวนอนันต์ของ sublattices ยังไม่ isomorphic กับผลิตภัณฑ์ของโปรยลดลง .. มี
คำตอบ
สำหรับคำโปรยแบบกระจายมีวิธีง่ายๆในการทำความเข้าใจคำถามเหล่านี้ ได้แก่ โปรดทราบว่าถ้า$L=A\times B$ เป็นผลคูณของสองตาข่ายองค์ประกอบ $(1,0)$ และ $(0,1)$ เป็นส่วนเติมเต็มซึ่งกันและกัน (การเข้าร่วมคือ $1$ และการพบกันของพวกเขาคือ $0$). ในทางกลับกันถ้า$L$ เป็นช่องตาข่ายแบบกระจายและ $a,b\in L$ เป็นส่วนเติมเต็มซึ่งกันและกันแล้ว $L\cong A\times B$ ที่ไหน $A=\{x\in L:x\leq a\}$ และ $B=\{x\in L:x\leq b\}$. แท้จริงมีแผนที่รักษาคำสั่ง$f:L\to A\times B$ การทำแผนที่ $x$ ถึง $(x\wedge a,x\wedge b)$ และแผนที่ $A\times B\to L$ การส่ง $(x,y)$ ถึง $x\vee y$ ผกผันกับ $f$ ตั้งแต่ $L$ เป็นแบบกระจาย
ดังนั้นโครงตาข่ายแบบกระจายจึงไม่สามารถลดทอนได้หากไม่มีองค์ประกอบเสริมที่ไม่สำคัญ ชุดขององค์ประกอบเสริมในโครงตาข่ายแบบกระจายใด ๆ$L$ สร้างพีชคณิตบูลีนซึ่งฉันจะเรียก $B(L)$. ยิ่งไปกว่านั้นถ้าเป็นตาข่ายแบบกระจาย$L$ เป็นผลิตภัณฑ์ $\prod_{i\in I} L_i$แล้ว $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า $L$ เป็นผลิตภัณฑ์จากคำโปรยที่ไม่สามารถลดทอนได้ (ไม่สำคัญ) $\prod_{i\in I} L_i$แล้ว $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$เนื่องจากแต่ละ $B(L_i)$ เป็นเพียงโครงตาข่ายสององค์ประกอบ $\{0,1\}$. ยิ่งไปกว่านั้น$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ ที่ไหน $e_i\in L$ คือ $1$ บน $i$th ประสานงานและ $0$ ในส่วนอื่น ๆ และองค์ประกอบเหล่านี้ $e_i$ เป็นเพียงอะตอมของพีชคณิตบูลีน $B(L)$. ด้วยการระบุนี้การฉายภาพ$L\to L_i$ เป็นเพียงแผนที่ $x\mapsto x\wedge e_i$.
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าตาข่ายกระจาย $L$ isomorphic เป็นผลคูณของโครงร่างที่ไม่สามารถวัดได้ iff แผนที่ $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ คือ isomorphism โดยที่ $I$ คือเซตของอะตอมของ $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, และ $i$พิกัดของ $f$ คือแผนที่ $x\mapsto x\wedge i$. ถ้า$L$ เสร็จสมบูรณ์แล้ว $L_i$ก็จะเสร็จสมบูรณ์โดยอัตโนมัติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ$L$ การเป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลิตภัณฑ์ของการขัดแตะที่ไม่สามารถสร้างขึ้นได้นั้นมีไว้สำหรับ $B(L)$ เป็น isomorphic ให้เป็นเซตพีชคณิตบูลีน
ตัวอย่างเช่นถ้า $L$ เป็นพีชคณิตบูลีนที่สมบูรณ์ซึ่งไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกของเซตกำลัง $L$ไม่ใช่ผลิตภัณฑ์จากคำโปรยที่ไม่สามารถวัดผลได้ สำหรับตัวอย่างที่ชัดเจน$L$ อาจเป็นโครงร่างของชุดย่อยที่เปิดอยู่ทั่วไปของ $\mathbb{R}$หรือโครงตาข่ายของชุดย่อย Borel ของ $\mathbb{R}$ โมดูโลชุดวัด Lebesgue $0$. สำหรับตัวอย่างอื่น$L$อาจเป็นช่องตาข่ายของชุดย่อยที่เปิดอยู่ของชุดต้นเสียง แล้ว$B(L)$ คือพีชคณิตบูลีนของชุดย่อยโคลเพนของเซตต้นเสียงซึ่งไม่มีอะตอม (และในความเป็นจริงยังไม่สมบูรณ์ด้วยซ้ำ)
สำหรับตัวอย่างที่ $B(L)$ เป็นชุดไฟ แต่ $L$ ยังคงไม่ใช่ผลิตภัณฑ์ของคำโปรยที่ไม่สามารถลดทอนได้คุณสามารถทำได้ $L$ เป็นช่องตาข่ายของส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของ $\beta\mathbb{N}$. แล้ว$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$แต่อะตอมของมันคือซิงเกิลตัน $\{n\}$ สำหรับ $n\in\mathbb{N}$ ดังนั้นแผนที่ $L\to\prod_{i\in I}L_i$ ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นคือแผนที่ $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ส่งชุดย่อยที่เปิดอยู่ของ $\beta\mathbb{N}$ ถึงจุดตัดกับ $\mathbb{N}$ซึ่งไม่ใช่ยาฉีด