Lattices เหนือโมดูล
โครงสร้างมาตรฐานของการขัดแตะใน $\mathbb{R}^n$ สามารถสรุปได้โดยการหาปริภูมิเวกเตอร์มิติ จำกัด ใด ๆ $V$ เหนือสนาม $F$ และการย่อย $R$ ของ $F$ตาม Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lattice_(group).
มีเหตุผลใดบ้างที่ทำให้มีการพิจารณาเฉพาะช่องว่างมิติ จำกัด ที่นี่และไม่ใช่โมดูลที่มีอันดับ จำกัด ฟรี โครงตาข่ายควรยังคงเป็นกลุ่มย่อยที่เพิ่มเข้ามาและฉันคิดว่าคุณสมบัติของฐานที่จะให้โครงร่างไอโซมอร์ฟิกก็ควรจะยังคงเหมือนเดิม มีทรัพย์สินสำคัญใดบ้างที่สูญเสียไปพร้อมกับคำอธิบายทั่วไปที่ฉันขาดหายไปนี้?
คำตอบ
คุณสมบัติที่สำคัญของทฤษฎีการขัดแตะคือผลิตภัณฑ์ภายในที่คุณได้รับจาก $\mathbb{R}^n$ตลอดจนวัตถุที่เกี่ยวข้องเช่นไดรฟ์ข้อมูล
ทฤษฎีบทที่น่าสนใจและมีประโยชน์หลายอย่างมาจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างพีชคณิตและเรขาคณิตเช่นทฤษฎีบทของมินโควสกีและการประยุกต์ใช้กับเรขาคณิตของตัวเลข รูปทรงเรขาคณิตยังมีความสำคัญสำหรับการใช้งานในการเข้ารหัสเนื่องจากต้องมีบรรทัดฐานเพื่อพูดถึงสิ่งต่างๆเช่นปัญหาเวกเตอร์ที่สั้นที่สุด
คำจำกัดความที่เทียบเท่าสำหรับคำโปรยคือการกำหนดให้เป็นแบบอิสระ $\mathbb{Z}$โมดูลที่มีรูปแบบกำลังสอง ลักษณะทั่วไปต่อไปนี้ปรากฏในหน้า 3 ของ "Lattices and Codes" ของ Ebeling
คำจำกัดความ: Let$R$เป็นวงแหวนสับเปลี่ยนที่มีเอกภาพ โมดูลรูปแบบทวิภาคีสมมาตร$(S,b)$ เกิน $R$ เป็นคู่ที่ประกอบด้วยฟรี $R$-โมดูล $S$ ของอันดับ $n$และรูปแบบทวิภาคีสมมาตร $b : S \times S \to R$.
โจทย์ 1.1 (Ebeling) หนึ่งโปรยใน$\mathbb{R}^n$ (ตารางที่ผลิตภัณฑ์ดอททุกชิ้นเป็นจำนวนเต็ม) คือโมดูลฟอร์มบิลิเนียร์สมมาตรเหนือจำนวนเต็มโดยที่ $b$ เป็นรูปแบบทวิภาคีสมมาตรที่แน่นอนในเชิงบวก
ข้อความกล่าวถึงว่าโมดูลรูปแบบทวิภาคีสมมาตรทับ $\mathbb{Z}$ หากไม่มีคุณสมบัติที่แน่นอนเชิงบวกมีการศึกษาในบทที่ 4 และศึกษาตัวอย่างวงแหวนของจำนวนเต็มในบทที่ 5 คุณอาจพบว่าสิ่งเหล่านี้น่าสนใจที่จะอ่าน