$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ หมายถึง $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Aug 16 2020

ปล่อย $f$ เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ของ Lebesgue $[0,1]$ ด้วย $f(x)>0$เกือบทุกที่
สมมติว่า$\{E_k\}_k$ เป็นลำดับของชุดที่วัดได้ของ Lebesgue ในรูปแบบ $[0,1]$ ดังนั้น $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ แสดงว่า $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Observatioins ของฉัน:
Let$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
แล้ว $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$เป็นชุดย่อยที่สามารถวัดผลได้เพิ่มขึ้นจำนวนมาก และ$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

นอกจากนี้ยังเป็น $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ เป็นลำดับชุดที่เพิ่มขึ้นเรามี $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

นอกจากนี้เรายังมีอีกต่างหาก

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

แต่ฉันไม่เห็นวิธีใช้รายละเอียดเหล่านี้เพื่อให้ได้คำตอบสุดท้าย
ขอบคุณที่คุณช่วย

คำตอบ

2 JCAA Aug 17 2020 at 03:29

ปล่อย $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. จากนั้นแต่ละ$B_n$ เป็นชุดที่วัดได้และ $B=\cup B_n$มีการวัด 1 โดยสมมติฐาน ตอนนี้การวัดของ$E_k\cap B_n$ ไปที่ $0$ เช่น $k\to \infty$ สำหรับทุกๆ $n$. ดังนั้น$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$