มิติและระเบิด
พิจารณาความหลากหลายของการฉายภาพ $X$และปล่อยให้ $Y$เป็น subvariety แบบปิด พิจารณาการระเบิดของ$X$ ตาม Y: เราได้รับความหลากหลายใหม่ $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$พร้อมกับแผนที่ชีวเหตุผล $$b:\tilde{X}\to X$$ ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมนอกสถานที่พิเศษ $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.
คำถาม: จริงหรือไม่ $\dim\tilde{X}=\dim X$เหรอ?
ความคิดของฉัน:การระเบิดเป็นแผนที่เชิงชีววิทยาดังนั้นไอโซมอร์ฟิซึมบนชุดย่อยแบบเปิด (หนาแน่น) เนื่องจากมิติของความหลากหลายถูกกำหนดให้เป็นระดับความโดดเด่นของฟิลด์ฟังก์ชันซึ่งเหมือนกันในเซตเปิดเราจึงสามารถสรุปได้
ความคิดของฉันถูกต้องหรือไม่? ฉันถามสิ่งนี้เพราะในขณะที่ฉันมั่นใจในเรื่องนี้สำหรับกรณีของการระเบิดประเด็นสำหรับกรณีทั่วไปของความหลากหลายที่ไม่ชัดเจนฉันไม่แน่ใจเพราะโดยสัญชาตญาณดูเหมือนว่าสำหรับฉันฉันกำลังเพิ่ม พื้นที่ขนาดใหญ่ (ฉันรู้ว่ามันไม่ได้เข้มงวด แต่ฉันเพิ่งเริ่มศึกษาหัวข้อนี้)
คำตอบ
มีสองสิ่งที่ควรทราบ อย่างหนึ่งคือฉันคิดว่าคุณต้องการให้การก่อสร้างระเบิดอยู่ได้$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; อย่างน้อยที่สุดก็ใช้ได้เมื่อ$Y$ เป็นจุดตัดที่สมบูรณ์
โดยทั่วไปแล้วดังที่คุณกล่าวสถานที่พิเศษเกิดขึ้นจากการฉายภาพของบันเดิลปกติ $\mathcal N_{Y|X}$. ชุด$\dim X = n$ และ $\dim Y = m$. อันดับของบันเดิลปกติจะเป็น codimension ของเสมอ$Y\subset X$ดังนั้น $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ มีมิติสัมพันธ์ $n - m - 1$ (หมายความว่านี่คือมิติของเส้นใยของ $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, แผนผังโครงสร้างของกลุ่มโปรเจ็กต์) ตอนนี้เพิ่มมิติของ$Y$เราได้มิติของบันเดิลที่คาดการณ์ไว้เป็นหลากหลายกล่าวคือ $(n-m-1) + m = n-1$แสดงว่ามันมี codimension $1$ ใน $X$. มันเป็นเพราะเหตุนี้ที่สถานทีที่โดดเด่นของระเบิดเป็นโดยปกติจะเรียกว่าเป็นตัวหารที่โดดเด่น