Modularity ของซีรีส์ Ramanujan-Sato
ชุด Ramanujan-Sato $$j^*(\tau)=432\frac{\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728}}{\sqrt{ j(\tau)}-\sqrt{j(\tau)-1728}}=432\frac{E_4(\tau)^{\frac32}+E_6(\tau)}{E_4(\tau)^{\frac32}-E_6(\tau)} \\ = \frac{1}{q}-120+10260 q-901120 q^2+91676610 q^3+\mathcal O\left(q^{4}\right)$$ ของระดับ 1 ทั่วไปสูตรของรามานุจันสำหรับ $\frac1\pi$, ที่ไหน $q=e^{2\pi i\tau}$. ที่นี่$j$ คือไคลน์ $j$-invariant และ $E_k$คือซีรีส์ Eisenstein เนื่องจากรากที่สองจึงดูเหมือนจะไม่ใช่ฟังก์ชันแบบแยกส่วนสำหรับกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันในทันที$SL(2,\mathbb Z)$. อย่างไรก็ตามมันเกี่ยวข้องกับไคลน์$j$- ตัวแปรโดย $$j=\frac{(j^*+432)^2}{j^*},$$ ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามสมการพหุนามแบบแยกส่วนใน $j$ ระดับ $2$, แนะนำว่า $j^*$ เป็นโมดูลสำหรับกลุ่มย่อยดัชนี 2 ของ $SL(2,\mathbb Z)$. นี่คือเรื่องจริง? แล้วกลุ่มความไม่แปรเปลี่ยนจะเป็นอย่างไร?
คำแนะนำใด ๆ เกี่ยวกับวรรณกรรมจะเป็นประโยชน์มากที่สุดขอบคุณมาก!
คำตอบ
มันคือ $$j^*(\tau)= 432\frac{(\sqrt{ j(\tau)}+\sqrt{j(\tau)-1728})^2}{1728}=432\frac{2 j(\tau)-1728+2\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}}{1728}$$ ดังนั้นเรากำลังดูโมดูลาร์ของ $$\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$$
$j(\tau)-1728$ เป็นโฮโลมอร์ฟิกไม่ใช่ศูนย์ที่ $e^{2i\pi /3}$ ในขณะที่ $j(\tau)$ มีศูนย์การสั่งซื้อ $3$ (ไม่ $6$!!!) ณ $e^{2i\pi /3}$ดังนั้น $\sqrt{j(\tau)}\sqrt{j(\tau)-1728}$ และด้วยเหตุนี้ $j^*(\tau)$ มีสาขาอยู่ที่ $e^{2i\pi/3}$พวกเขาไม่ได้เป็นแบบแยกส่วน
แม้ว่าพวกเขาจะเป็นออโตเมติกบนฝาครอบสองชั้นของเส้นโค้งแบบแยกส่วน
โปรดทราบว่า $f(\tau)=\sqrt{j(\tau)-1728}$ เป็นโฮโลมอร์ฟิกเพราะเลขศูนย์เดียวของ $j(\tau)-1728$ เป็นสองเท่า $SL_2(\Bbb{Z})i$. มันคือ$2$- เป็นระยะและ $f(\gamma(\tau))=\chi(\gamma)f(\tau)$ ที่ไหน $\chi$ คือตัวละคร $SL_2(\Bbb{Z})\to \pm 1$ ที่กำหนดโดย $\chi(\pmatrix{1&1\\0&1})=\chi(\pmatrix{0&1\\-1&0})=-1$ ผ่านปัจจัยใดบ้าง $SL_2(\Bbb{Z/2Z})$, ในความเป็นจริง $\ker(\chi)$ คือเมทริกซ์ที่มีการลดลง $\bmod 2$ คือ $\pmatrix{1&0\\0&1},\pmatrix{1&1\\1&0},\pmatrix{0&1\\1&1}$.