Monomorphisms ระหว่างกราฟไม่มีที่สิ้นสุด

Question

ฉันสงสัยจริงๆเกี่ยวกับคำถามนี้:

ปล่อย $G(V_G,E_G)$ และ $H(V_H,E_H)$ เป็นกราฟไม่มีที่สิ้นสุด (ไม่มีที่สิ้นสุด! ไม่ใช่แบบ จำกัด ) เช่นนั้น $$|V_G|=|V_H|,$$ และปล่อยให้ $f$, $g$ เป็นฟังก์ชัน $f: G\rightarrow H$, $g: H\rightarrow G$ ดังนั้น $$\text{$ฉ$ and $ก$ are monomorphisms}.$$

จากข้อมูลที่ระบุเป็นความจริงที่จะพูดอย่างนั้น $G$ และ $H$ isomorphic คืออะไร?

จากข้อมูลที่ระบุ $G$ isomorphic เป็น subgraph ของ $H$และ $H$ isomorphic เป็น subgraph ของ $G$. ถ้า$f$ หรือ $g$ ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึมแล้ว $G$ เป็นย่อหน้าที่เหมาะสมของตัวมันเองและ $H$เป็นย่อหน้าที่เหมาะสมของตัวมันเอง สิ่งนี้ดูเหมือนจะไม่สร้างความขัดแย้ง

Answer 1

ไม่ตัวอย่างเช่นให้ $G$ เป็นกราฟที่สมบูรณ์ในเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดและปล่อยให้ $H$ เป็นสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อกันของ $G$และอีกหนึ่งจุดยอด จากนั้นมี monomorphism ที่เห็นได้ชัด$G\to H$และยังมี monomorphism $H\to G$ (เพียงแค่ฉีดจุดใดจุดหนึ่งและมันจะเป็น homomorphism โดยอัตโนมัติตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $G$เสร็จสมบูรณ์) อย่างไรก็ตาม$G$ และ $H$ ไม่ใช่ isomorphic