มูลค่าของอินทิกรัล

Question

ฉันต้องการตรวจสอบค่าของอินทิกรัลต่อไปนี้ $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ ปริพันธ์ (ตัวประกอบของ $4n(n-1)$) รวมอยู่ด้วย) คือ pdf ของตัวแปรสุ่มบางตัวสำหรับ $n\geq 3$และด้วยเหตุนี้ฉันจึงคาดหวังว่ามันจะเป็น 1 ถ้าใครสักคนสามารถใส่มันลงในระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์เช่น MATHEMATICA ฉันก็จะต้องรับผิดชอบ ฉันไม่สามารถเข้าถึงซอฟต์แวร์ CAS ใด ๆ

PS: - ฉันไม่รู้จักซอฟต์แวร์ CAS ฟรีใด ๆ หากมีใครกรุณาแบ่งปัน

Answer 1

อินทิกรัลสามารถเขียนใหม่เป็น \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} เราได้รับการบูรณาการตามส่วนต่างๆ $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ ดังนั้น, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

ป.ล.คุณสามารถใช้SageMathและWolframAlphaสำหรับการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ ทั้งสองแบบฟรี

Answer 2

ดูเหมือนว่าการคาดเดาของคุณจะเป็นจริง Mathematica ให้ผลลัพธ์$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ ในแง่ของฟังก์ชันเบต้าที่ไม่สมบูรณ์และการใส่จำนวนเต็มแบบสุ่ม $\geq 3$ ให้ผล 1 เสมอ (ฉันไม่ได้จัดการให้ Mathematica คายมันออกมาเป็นผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับโดยพลการ $n$).

Answer 3

คุณสามารถใช้CoCalc ตัวอย่างเช่นพิมพ์integral(x^2,x)และรับ1/3*x^3

นอกจากนี้ยังอนุญาตพารามิเตอร์เชิงสัญลักษณ์

อินพุต:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

เอาท์พุต:

1/3*x^3+n*x