ปัญหาการนับ: Briefcases

Question

สมมติว่าคุณและเพื่อนได้รับกระเป๋าเอกสารที่มีหน้าตาเหมือนกัน 9 ใบโดยสามใบมีเงิน 100 เหรียญในขณะที่ส่วนที่เหลือว่างเปล่า คุณทั้งสองผลัดกันหยิบกระเป๋าเอกสาร (โดยคนแรกเลือก 5 และคนที่สองเลือก 4) และในตอนท้ายเท่านั้นที่เปิดกระเป๋าเอกสาร ฉันได้ทำคำถาม HW ไปแล้ว 1-4 ส่วน แต่ไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไรสุดท้าย:

1. ถ้าคุณไปก่อนความน่าจะเป็นที่คุณเลือกกระเป๋าเอกสารเปล่าในเทิร์นแรกคืออะไร
2. สมมติว่าคุณไปก่อนแล้วเลือกกระเป๋าเอกสารเปล่า ความเป็นไปได้ที่เพื่อนของคุณจะหยิบกระเป๋าเอกสารเปล่าในเทิร์นแรกเป็นเท่าใดเนื่องจากคุณเลือกที่ว่างในเทิร์นแรกด้วย
3. สมมติว่าคุณไปก่อนและเลือกกระเป๋าเอกสารพร้อมเงิน 100 เหรียญ ความเป็นไปได้ที่เพื่อนของคุณจะหยิบกระเป๋าเอกสารเปล่าในเทิร์นแรกเป็นเท่าใดเนื่องจากคุณเลือกหนึ่งใบพร้อมเงิน 100 ดอลลาร์ในเทิร์นแรก
4. หากเกมจบลงหลังจากที่แต่ละคนมีเพียงครั้งเดียวแสดงว่าความเป็นไปได้ที่คุณจะเลือกกระเป๋าเอกสารด้วยเงิน 100 ดอลลาร์จะเท่ากันไม่ว่าคุณจะเริ่มหรือไม่ก็ตาม
5. ถ้าเกมจบลงเมื่อมีการหยิบกระเป๋าเอกสารแต่ละใบจะดีกว่าถ้าเริ่มหรือไปที่สอง

แก้ไข: เป้าหมายของเกมคือการทำเงินให้น้อยที่สุดเนื่องจาก 'การพนันไม่ดี'

---

ความพยายามของฉัน:

1. คำตอบคือไม่ คุณสามารถเลือกกระเป๋าเอกสารเปล่าหารด้วยหมายเลข คุณสามารถเลือกกระเป๋าเอกสารได้หลายวิธี นี่คือ 6C1 (เนื่องจากมีกระเป๋าเอกสารเปล่า 6 ใบ) หารด้วย 9C1 ซึ่งเท่ากับ 2/3

2. ฉันเชื่อว่าคำตอบนี้คือ 2/3 (จากตอนที่ 1) คูณด้วย 5C1 (เนื่องจากตอนนี้มีกระเป๋าเอกสารเปล่าเหลืออยู่ 5 ใบและเพื่อนเลือกหนึ่งในนั้น) หารด้วย 8C1 (เนื่องจากตอนนี้เหลือเพียง 8 เคสให้เลือก ). เป็นค่าประมาณ 0.4167

3. ฉันเชื่อว่านี่คือ$ \ frac {3C1} {9C1} \ cdot \ frac {6C1} {8C1} $เนื่องจากคนแรกต้องเลือกกระเป๋าเงินหนึ่งในสามใบจากทั้งหมด 9 ใบในขณะที่คนที่สองต้องเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง จากกระเป๋าเอกสารเปล่า 6 ใบจากทั้งหมด 8 ใบที่เหลือ นี่คือ 0.25

4. วิธีที่ฉันคิดที่จะเข้าถึงสิ่งนี้คือการพิจารณาสี่เหตุการณ์ที่แตกต่างกันโดยที่:

   • เหตุการณ์ A: คุณไปก่อนและรับ 100 ดอลลาร์จากนั้นเพื่อนเลือกว่าง
   • กิจกรรม B: คุณไปก่อนและได้รับ 100 ดอลลาร์จากนั้นเพื่อนจะได้รับ 100 ดอลลาร์
   • เหตุการณ์ C: เพื่อนของคุณไปก่อนและได้รับ 100 ดอลลาร์จากนั้นคุณจะได้รับ 100 ดอลลาร์
   • กิจกรรม D: เพื่อนของคุณไปก่อนและเลือกว่างจากนั้นคุณจะได้รับ 100 ดอลลาร์

   ดังนั้นถ้าคุณไปก่อนความน่าจะเป็นที่จะได้รับ 100 ดอลลาร์คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A บวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ถ้าคุณไปที่สองความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ C บวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ D นิพจน์ทั้งสองนี้คือ$ \ frac {3C1 \ cdot 6C1} {9C1 \ cdot 8C1} + \ frac {3C1 \ cdot 2C1} {9C1 \ cdot 8C1} $ซึ่งเท่ากับ 1/3

5. ส่วนนี้ฉันสับสนเกี่ยวกับวิธีการเข้าใกล้เนื่องจากมีหลายลำดับที่อาจเลือกกระเป๋าเอกสารเปล่า 6 ใบและ 3 ใบพร้อมเงิน 100 ดอลลาร์

คำแนะนำใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

Answer 1

หากคุณไปก่อนจำนวนกระเป๋าเดินทาง "เงิน" ที่คุณได้รับจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกเนื่องจากกระเป๋าเดินทางห้าใบของคุณถูกดึงออกมาโดยไม่มีการเปลี่ยนจากจำนวนประชากร$3$ กระเป๋าเดินทาง "money" และ $6$ คนที่ว่างเปล่า

$$P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{3}{0} \binom{6}{5}}{\binom{9}{5}} = \frac{6}{\binom{9}{5}} & k=0 \\ \frac{\binom{3}{1} \binom{6}{4}}{\binom{9}{5}} = \frac{45}{\binom{9}{5}} & k = 1 \\ \frac{\binom{3}{2} \binom{6}{3}}{\binom{9}{5}} = \frac{60}{\binom{9}{5}} & k = 2 \\ \frac{\binom{3}{3} \binom{6}{2}}{\binom{9}{5}} = \frac{15}{\binom{9}{5}} & k = 3 \end{cases}$$

ถ้าคุณไปที่สองความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันจะอยู่ในลำดับย้อนกลับ คุณจะเห็นได้ว่าผู้เล่นที่ไปก่อนมีแนวโน้มที่จะได้รับกระเป๋าเงินมากกว่า

Answer 2

คำตอบของคุณใน # 2 ไม่ถูกต้อง

สมมติว่าคุณไปก่อนแล้วเลือกกระเป๋าเอกสารเปล่า ความเป็นไปได้ที่เพื่อนของคุณจะหยิบกระเป๋าเอกสารเปล่าในเทิร์นแรกเป็นเท่าใดเนื่องจากคุณเลือกที่ว่างในเทิร์นแรกด้วย

คุณจะต้องคิดว่าคุณมีแล้วหายไปครั้งแรกและหยิบกระเป๋าเอกสารที่ว่างเปล่า นั่นหมายความว่ามีกระเป๋าเอกสารเหลืออยู่ 8 ใบซึ่งเหลือเพียง 5 ใบเท่านั้น

คำตอบคือ

$$\frac{5}{8}.$$

ด้วยเหตุผลเดียวกับข้างต้นคำตอบของ # 3 คือ

$$\frac{6}{8}.$$

# 4 เป็นเรื่องยุ่งยากและสามารถโจมตีได้สองวิธี

วิธีเดินเท้าก็ว่าได้

• โอกาสของคุณในกระเป๋าเอกสารพร้อมเงินถ้าคุณไปก่อนคือ $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.$

• ถ้าคุณไปที่สองมีความเป็นไปได้สองอย่างคือเพื่อนของคุณเลือกกระเป๋าเอกสารเปล่าจากนั้นคุณก็เลือกด้วยเงินหรือเพื่อนของคุณเลือกกระเป๋าเอกสารพร้อมเงินจากนั้นคุณก็เลือกด้วยเงิน

  ความน่าจะเป็นรวมที่นี่คือ $\left(\frac{6}{9} \times \frac{3}{8}\right) ~+~ \left(\frac{3}{9} \times \frac{2}{8}\right) ~=~ \frac{24}{72} = \frac{1}{3}.$

การวิเคราะห์ที่สวยหรูกว่านั้นคือการให้เหตุผลว่าการหยิบกระเป๋าเอกสารนั้นเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับการส่งกระเป๋าเอกสารแบบสุ่ม หากผู้ดูแลเลือกกระเป๋าเอกสารสองใบโดยสุ่มหนึ่งใบให้คุณและอีกใบสำหรับเพื่อนของคุณโอกาสที่กระเป๋าเอกสารของคุณมีเงินจะไม่ได้รับผลกระทบจากการที่ผู้ดูแลส่งกระเป๋าเอกสารของคุณให้คุณก่อนหรือหลังผู้ดูแลส่งกระเป๋าเอกสารให้เพื่อนของคุณ

แก้ไข
ฉันตีความผิด

ถ้าเกมจบลงเมื่อมีการหยิบกระเป๋าเอกสารแต่ละใบจะดีกว่าถ้าเริ่มหรือไปที่สอง

ถ้าคุณไปก่อนคุณจะได้รับกระเป๋าเอกสาร 5 ใบและเพื่อนของคุณจะได้รับกระเป๋าเอกสาร 4 ใบเท่านั้น สิ่งนี้เทียบเท่ากับการแสร้งทำเป็นว่ามีกระเป๋าเอกสาร 10 ใบแทนที่จะเป็น 9 ใบและกระเป๋าเอกสารใบที่ 10 ถูกบังคับให้ว่างเปล่า

ดังนั้นหากคุณไปก่อนคุณจะมีกระเป๋าเอกสาร 5 ใบซึ่งอาจมีเงิน ถ้าคุณไปที่สองกระเป๋าเอกสารใบหนึ่งของคุณ (กระเป๋าเอกสารที่ 10 ในจินตนาการ) จะถูกบังคับให้ว่างเปล่า

ดังนั้นคนที่ไปที่สองสามารถคาดหวังว่าจะได้รับเงินน้อยลง