ปัญหาซิลเวสเตอร์

Question

ชุดที่ จำกัด $S$ของจุดในเครื่องบินมีคุณสมบัติที่เส้นผ่านสองจุดเหล่านี้ผ่านจุดที่สาม พิสูจน์ว่าทุกจุดใน$S$ เป็น collinear

ฉันเห็นข้อพิสูจน์ของปัญหานี้โดยใช้หลักการสุดขั้ว

สมมติว่าจุดไม่เรียงกัน ระหว่างคู่$(p,L)$ ประกอบด้วยเส้น $L$ และจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนั้นเราจะเลือกจุดที่ลดระยะทาง $d$ จาก $p$ ถึง $L$. ปล่อย$f$ เป็นส่วนที่ตั้งฉากจาก $p$ ถึง $L$. มี (โดยการสันนิษฐาน) อย่างน้อยสามจุด$a,b,c$ บน $L$. สองสิ่งนี้พูด$a$ และ $b$ อยู่ในด้านเดียวกันของ $f$. ปล่อย$b $ อยู่ใกล้ $f$ กว่า $a$. แล้วระยะทางจาก$b$ ถึงบรรทัด $ap$ น้อยกว่า $d$. ความขัดแย้ง.

คำถามของฉันอยู่ในส่วนสุดท้าย ฉันไม่เข้าใจว่า "แล้วระยะทางจาก$b$ ถึงบรรทัด $ap$ น้อยกว่า $d$. "ก่อให้เกิดความขัดแย้งใครสามารถอธิบาย?

Answer 1

ในการเริ่มต้นของการพิสูจน์เราได้เลือก $(p,L)$ เช่นระยะทาง $d$ ระหว่าง $p$ และ $L$ เป็นขั้นต่ำในบรรดาบรรทัดและจุดทั้งหมดที่ไม่อยู่ในบรรทัดนั้น

ความขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อเราสร้างคู่ $(b, ap)$ โดยมีระยะทางน้อยกว่า $d$ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข minimality บน $(p,L)$.

"เรขาคณิต" อาจเป็นแท็ก

แก้ไข: ว่าทำไม $b$ อยู่ใกล้กว่า $ap$ กว่า $p$ คือการ $L$ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก $\triangle afp$.

$b$ อยู่ด้านข้าง $af$. ระยะห่างจากเส้น$ap$ ต้องไม่เกินความสูง $\triangle afp$ พร้อมฐาน $ap$.

ตั้งแต่ $ap$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก $ap > af$.

พิจารณาพื้นที่ของ $\triangle afp$เราจะเห็นว่าความสูงของ $\triangle afp$ พร้อมฐาน $ap$ น้อยกว่าความสูงของ $\triangle afp$ พร้อมฐาน $af$, ซึ่งเป็น $fp = d$.

สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ: ระยะห่างของ $b$ จาก $ap$ น้อยกว่า $d$.

Answer 2

สำหรับคำอธิบายภาพว่าทำไมระยะห่างจาก $B$ ถึง $AP$มีขนาดเล็กกว่านี่คือภาพประกอบ ฉันได้ใช้ป้ายกำกับจุดทั้งหมดเป็นตัวพิมพ์ใหญ่และเพิ่มเข้ามา$G$ และ $H$ซึ่งเป็นเท้าที่ตั้งฉากจาก $B$ และ $F$ ถึงบรรทัด $AP$ตามลำดับ ควรมีความชัดเจนว่า$PF > FH > BG$. การพิสูจน์อย่างเป็นทางการใช้รูปสามเหลี่ยมและสัดส่วนที่คล้ายกัน