เพื่อหาพหุนาม

Question

ข้อสงสัยของฉันมาจากกระดาษโมเดล PRMO ที่ฉันมีในวันนี้ ภาพของคำถามอยู่ด้านล่าง (ฉันต้องทานอาหารกลางวันดังนั้นจึงคิดหาวิธีที่เร็วกว่าในการตั้งคำถามและลงเอยด้วยสิ่งนี้):

สิ่งที่ฉันพยายาม :

ฉันรู้สึกว่า $f(x) - x^3$สามารถให้ค่าของส่วนกำลังสองของพหุนาม เป็นผลให้นำส่วนกำลังสองมาเป็นของฟอร์ม$ax^2 +bx + c$ความแตกต่างที่ฉันได้รับคือ:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในการแก้สมการเชิงเส้น 3 ตัวแปรใน 3 ตัวแปร แต่ฉันพยายามและลงเอยด้วยการดึงผมออกมา (พยายามทำตัวเป็นวรรณกรรมหวังว่าคุณจะไม่สนใจคำพูด แต่ให้ความสนใจกับคำถามมากกว่า) ฉันพยายามรับ 2 สมการพร้อมกันและได้รับหลายค่าสำหรับตัวแปรเดียวกัน

ฉันจะขอบคุณทุกคนที่เต็มใจช่วยเหลือฉัน

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

สมการที่สามผิด

การลบ eq (1) จาก eq (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ eq (3)

การลบ eq (1) จาก eq (3)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ แทนที่สิ่งนี้ในสมการทั้งหมดแล้วคุณจะได้รับคำตอบ

Answer 2

โปรดทราบว่า $f(x) = x^2$ตอบสนองทั้งสามสมการที่กำหนด แต่เราต้องการปริญญา$3$ ดังนั้นเราจึงเพิ่ม $(x-1)(x-2)(x-3)$ และรับ $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ ด้วย $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

คำแนะนำ: พิจารณา $f(x)-x^2$แทน. การทำงานกับพหุนามที่เป็น 0 ในจุดที่กำหนดนั้นง่ายกว่ามาก

Answer 4

ในขณะที่การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้อง $x^2$ น่าจะเป็นสิ่งที่ผู้ตั้งคำถามตั้งใจไว้นอกจากนี้ยังง่ายต่อการรับค่าของ $f(4)$โดยไม่ต้องแยกกำลังสองโดยใช้ผลต่าง จำกัด ปล่อย$g(n) = f(n) - n^3$เช่นเดียวกับใน OP เป็นกำลังสอง ความแตกต่างของลำดับแรกคือ:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

ดังนั้นความแตกต่างลำดับที่สองคือ $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$ซึ่งสำหรับพหุนามกำลังสองใด ๆ (หรือต่ำกว่า) เป็นค่าคงที่ ดังนั้น$\Delta^2 g(2) = -10$ดังนั้น $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$และ $g(4) = g(3) -24 = -42$.

ดังนั้น $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

เรามี $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ และ $$9a+3b+c=-18,$$ ซึ่งจะช่วยให้ $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ และ $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ ด้วยประการฉะนี้ $$f(4)=22.$$

Answer 6

เราไม่จำเป็นต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามอย่างชัดเจนแน่นอนว่าเรามีค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นเอกลักษณ์

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนดด้วย $f(1)=1$, $f(2)=4$ และ $f(3)=9$แล้ว

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

ดังที่สังเกตได้จากคำตอบอื่น ๆ เรามีเรื่องยุ่งยากมากขึ้น

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

ให้ $f(x)$ พหุนามรูปลูกบาศก์โมโน

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบเราสามารถแสดงสิ่งนั้นได้ $(x-1)$,$(x-2)$ และ $(x-3)$ เป็นปัจจัยของ $f(x) - x^2$

เรามีปัจจัยเชิงเส้นสามตัวจึงเขียนได้ $f(x)$ เช่น,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$โดยที่ k คือค่าคงที่

แต่ $f(x)$ เป็นพหุนาม monic ดังนั้น k = 1

ดังนั้นพหุนามของเราจึงกลายเป็น $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

การใส่ x = 4

$f(4) = 6 + 16 = 22$

นี่เป็นเทคนิคทั่วไปในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์การแข่งขันคุณสามารถอ่านเพิ่มเติมได้ที่นี่ https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/