พิกัดบนพื้นผิว

Question

สมมติ $\Omega$ เป็นโดเมนใน $R^2$, ปล่อย $F: \Omega\rightarrow R^3$ เป็นแผนที่ราบรื่นเช่นนั้น $F(\Omega)$เป็นพื้นผิวเรียบ เมตริกบนพื้นผิวคือ$$g=F_x\cdot F_x dx^2+2F_x\cdot F_y dxdy+F_y\cdot F_y dy^2$$ เรามีระบบพิกัดอื่นหรือไม่ที่เมตริกเป็น $g=\rho(u,v)(du^2+dv^2)$เหรอ? ฉันได้พบบางอย่างเกี่ยวกับพิกัดความร้อนใต้พิภพออนไลน์ จากความเข้าใจของฉันผลลัพธ์เหล่านั้นเป็นของท้องถิ่น เราสามารถหาได้ทั้งหมด$\Omega$เหรอ? ฉันไม่แน่ใจว่าโทโพโลยี (เชื่อมต่อง่าย ๆ ฯลฯ ) มีผลต่อผลลัพธ์หรือไม่

Answer 1

สมมติว่า $\partial\Omega$ราบรื่น จากนั้นเป็น$\Omega\subset \mathbb{R}^2$เรารู้ว่าหลังจาก 'อุดรู' แล้วเราจะได้สกุล $0$พื้นผิวและคำตอบนี้ใช้และรับประกันการมีอยู่ของแผนที่ฮาร์มอนิก$u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ไม่มีจุดวิกฤต แล้ว$*du$ เป็นรูปแบบเดียวแบบปิด (โดยที่ $*$ เป็นดาวฮอดจ์สำหรับเมตริกดึงกลับ $g =F^*\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^3}$).

ถ้า $*du$ เป็นสิ่งที่แน่นอนแล้วเราก็มี $*du=dv$ เพื่อการทำงานที่ราบรื่น $v:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$. ความแน่นอนของ$*du$ ตามตัวอย่างเช่น if $\Omega$ เชื่อมต่อกัน (หรือโดยทั่วไปถ้า $H^1(\Omega,\mathbb{R})=0$). แล้ว$(u,v):(\Omega,g)\rightarrow \mathbb{R}^2$จะให้พิกัดความร้อนใต้พิภพซึ่งตรงกับที่คุณต้องการ