พิสูจน์ว่าชุดปิด

Question

ฉันได้รับชุด:

$\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : r^2 \leq x^2+y^2\leq R^2,z^2 \in [\epsilon,1]\}$.

สำหรับ $0 \leq r \leq R$ และ $\epsilon \in (0,1)$.

ฉันเชื่อว่าชุดนี้ปิดแล้ว (ไม่ได้เปิดแน่นอน) แต่ฉันค่อนข้างติดอยู่กับวิธีการแสดงว่าปิด

ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่ามันมีจุด จำกัด ทั้งหมด แต่ดูเหมือนยากมาก ฉันพยายามแสดงให้เห็นด้วยว่าส่วนเสริมนั้นเปิดอยู่ แต่ก็ยากเช่นกัน

มีวิธีอื่นอีกไหมที่ฉันจะแสดงให้เห็นว่ามันปิดอย่างรัดกุมกว่านี้ ขอความช่วยเหลือใด ๆ

Answer 1

คำแนะนำ:ใช้$(x_0,y_0,z_0) \in \overline{F}$, ที่ไหน $F=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : r^2 \leq x^2+y^2\leq R^2,z^2 \in [\epsilon,1]\}$ และลำดับ $\{(x_n,y_n,z_n)\} \subset F$ ดังนั้น $(x_n,y_n,z_n) \rightarrow (x_0,y_0,z_0)$ ใน $\mathbb{R}^{3}$.

Answer 2

$f(x.y,z)= x^2+y^2$ และ $g(x,y,z)=z^2$ ทั้งสองฟังก์ชันต่อเนื่องเปิดอยู่ $\Bbb R^3$. ชุดของคุณเท่ากับ$$f^{-1}[[r^2,R^2]] \cap g^{-1}[[\varepsilon, 1]]$$ตามความหมาย นี่คือการตัดกันของภาพผกผันของชุดปิดภายใต้แผนที่ต่อเนื่องปิดดังนั้น