ผลของ $\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$

Question

$$\int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x$$

ฉันพบว่าการผสานรวมนี้ไม่ชัดเจนเนื่องจากฉันได้รับคำตอบด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน คำตอบเหล่านี้ถูกต้องและเป็นจริงหรือไม่? มีใครบอกฉันได้ไหมว่าทำไมและอย่างไร นอกจากนี้ยังมีข้อพิสูจน์ใด ๆ ที่ระบุว่าสองวิธีนี้ฉันใช้ค่า / คำตอบเดียวกัน

วิธีการทำงานของฉันโปรดแก้ไขฉันหากฉันผิด

วิธีแรก:

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\sin x \cdot \sin^2x}\,\mathrm{d}x \\ &= \int{\sin x (1 - \cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \displaystyle\int{(\sin x - \sin x\cos^2x)}\,\mathrm{d}x \\& = \dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C \end{align}

วิธีที่สอง:

อันดับแรกเรารู้ว่า $$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$$

ดังนั้น, $$\sin^3x = \dfrac{3}{4}\sin x - \dfrac{1}{4}\sin 3x$$

\begin{align} \int{\sin^3x}\,\mathrm{d}x & = \int{\left(\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x\right)}\,\mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{12}\cos 3x - \frac{3}{4}\cos x + C \end{align}

Answer 1

$$\cos 3x =4\cos^3x -3\cos x$$ ดังนั้น, $$\frac{1}{12}\color{green}{\cos 3x} - \frac{3}{4}\cos x=\frac{1}{12}(\color{green}{4\cos^3x -3\cos x})-\frac{3}{4}\cos x$$ $$=\frac{1}{3}\cos^3x-\cos x$$

ดังนั้นคำตอบทั้งสองจึงเหมือนกัน

Answer 2

ใช่ทั้งสองอย่างถูกต้องและเป็นความจริง จริงๆแล้ว$$(\forall x\in\Bbb R):\frac13\cos^3(x)-\cos(x)=\frac1{12}\cos(3x)-\frac34\cos(x)$$ตั้งแต่$$(\forall x\in\Bbb R):\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x).$$

Answer 3

ตั้งแต่ $$\cos^3(x)=\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)$$

อินทิกรัลแรกของคุณจะกลายเป็น $$\int \sin^3(x)dx=\dfrac{1}{3}\cos^3x - \cos x + C$$ $$=\frac{1}{3}\big[\frac{3}{4}\cos(x)+\frac{1}{4}\cos(3x)\big]-\cos(x)+C$$ $$=\frac{1}{12}\cos(3x)-\frac{3}{4}\cos(x)+C$$

---

โปรดสังเกตว่าค่าคงที่ของการรวมไม่จำเป็นต้องเหมือนกัน ตัวอย่างเช่นการใช้$u$- การแทนที่ตัวส่วนที่เรามี $$\int \frac{4x}{4x^2+7}dx=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}$$

$$\int \frac{x}{x^2+\frac{7}{4}}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}$$

ที่นี่เรามี $C_{2}=C_{1}+\frac{1}{2}\ln(4)$เนื่องจากเป็นค่าคงที่ แน่นอนเรามี$$\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+C_{2}=\frac{1}{2}\ln(x^2+\frac{7}{4})+\frac{1}{2}\ln(4)+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\big[\ln(x^2+\frac{7}{4})+\ln(4)\big]+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4(x^2+\frac{7}{4}))+C_{1}$$ $$=\frac{1}{2}\ln(4x^2+7)+C_{1}.$$