ผลรวม Combinatorial

Question

• ความคิดใด ๆ ในการประเมินผลรวม $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• ฉันพบผลรวมของ $k=2m-1$. ในความเป็นจริงมีการตรวจสอบแล้วว่า$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ ที่ไหน $H_{j}$ คือ $j$- หมายเลขฮาร์มอนิก

Answer 1

ที่นี่แพ็คเกจ Zeilberger ของmaxima (ดูที่Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B"สำหรับรายละเอียดที่เต็มไปด้วยเลือด) บอกว่ายอดรวมของคุณไม่สามารถสรุปได้ Gosper นั่นหมายความว่าไม่มีรูปแบบปิดธรรมดาสำหรับมัน

Answer 2

ในช่วงเวลาสั้น ๆ ฉันหวังว่าจะสามารถแสดงผลลัพธ์ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกได้ แต่ฉันล้มเหลว

ถ้าเราปล่อยให้ $k=m+n$ปัญหาจะลดลงเป็น $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ ซึ่งสามารถเขียน $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ ที่ไหน $P_n$ เป็นพหุนามของดีกรี $2n$ (ดูเหมือนจะไม่เป็นข้อเท็จจริงใด ๆ $n$).

อย่างแรกคือ $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

ฉันไม่พบรูปแบบใด ๆ สำหรับสัมประสิทธิ์ [ยกเว้นว่าระยะคงที่คือ $(n!)^2$ และค่าสัมประสิทธิ์ของ $m^{2n}$ คือ $1$ (!!)].

สิ่งเดียวที่ฉันสังเกตคือถ้า $n$ คือแม้ระยะคือ $m$ หายไปอย่างเป็นระบบ

หากไม่มีการพิสูจน์ใด ๆ ฉันไม่คิดว่ารูปแบบปิดจะมีอยู่สำหรับคนทั่วไป $n$.