พื้นผิว Kummer ซึ่งไม่สามารถฉายภาพได้

Question

นี่คือคำถามจากบันทึกออนไลน์ ปล่อย$A$ เป็นสองมิติ $\mathbb C$- ทอรัส และมีการรุกรานบน$A$: $A\to A, x\mapsto -x$. การกระทำมีจุดคงที่ 16 จุด ปล่อย$Y:=A/\{\pm1\}$แล้ว $Y$เป็นพื้นผิวที่ซับซ้อนที่มีจุดคู่ธรรมดา 16 จุด ปล่อย$X$ จะระเบิด $Y$ที่จุดเอกพจน์ทั้งหมด 16 จุด หลังจากการคำนวณบางอย่างเราจะเห็น$X$ คือ $K3$พื้นผิว จากนั้นก็อ้างว่าถ้า$A$ ไม่เป็นภาพฉายแล้ว $X$ ไม่ใช่การคาดการณ์และเราได้รับตัวอย่างของการไม่ฉายภาพ $K3$พื้นผิว แต่ฉันรู้สึกสับสนว่าทำไม "ถ้า$A$ ไม่เป็นภาพฉายแล้ว $X$ ไม่เป็นโครงร่าง ".

ฉันรู้ตั้งแต่ $A\to X$ มีข้อ จำกัด ดังนั้นถ้า $Y$ เป็นโครงร่างจากนั้นเราสามารถดึงบันเดิลบรรทัดที่เพียงพอกลับไปยังบรรทัดที่เพียงพอเพื่อ $A$. แต่ฉันมองไม่เห็นว่าทำไม$X$ เป็นความหมายโดยนัย $Y$เป็นโปรเจ็กต์? เราได้ทำสัญญาเส้นโค้งที่มีเหตุผลบนพื้นผิวที่ซับซ้อนเพื่อรักษาการฉายภาพหรือไม่?

Answer 1

ในความเป็นจริง, $X$ เป็นโปรเจ็กต์ถ้าและต่อเมื่อ $A$ เป็นโปรเจ็กต์

ถ้า $A$ เป็นโปรเจ็กต์แล้ว $Y$เป็นผลหารของความหลากหลายเชิงโปรเจ็กต์โดยกลุ่ม จำกัด (นี่คือแบบจำลองของเล่นของ GIT โปรดดูคำถาม MO นี้ ) แล้ว$X$ มีการฉายภาพด้วยเช่นกันคือการระเบิดของความหลากหลายที่ฉาย $Y$ ที่จำนวนจุด จำกัด

ในทางกลับกันสมมติ $X$ฉาย. จากนั้นมีฝาปิดสองชั้น$\tilde{A} \to X$, ที่ไหน $\tilde{A}$ คือการระเบิดของ $A$ ที่ $16$ จุดสั่งซื้อ $2$. นี่แสดงให้เห็นว่า$\tilde{A}$ เป็นแบบฉายภาพดังนั้นการระเบิดลง $A$ เป็นโปรเจ็กต์เช่นกัน (อาร์กิวเมนต์ทางเลือกสังเกตเห็นว่า $X$ แสดงนัย $Y$ projective และอื่น ๆ $A$ ประมาณการตั้งแต่ทำสัญญาก $(-2)$ เส้นโค้งบนพื้นผิวที่มีการฉายภาพจะรักษาความสามารถในการฉายภาพตามที่อธิบายไว้ในความคิดเห็นของ abx)