Ridge และ Quadratic Programming สำหรับ Portfolio Norm Optimization

Question

ชอบโพสต์นี้มาก: https://stats.stackexchange.com/questions/119795/quadratic-programming-and-lassoฉันกำลังพยายามรวม RIDGE Penalty ในโปรแกรมแก้กำลังสองโดยเฉพาะ ในกรณีของฉันฉันกำลังทำงานกับquadprogจาก MATLAB ซึ่งแตกต่างจาก LASSO ที่คุณสามารถกำจัดค่าสัมบูรณ์ในรูปแบบที่ จำกัด และเขียนใหม่ในรูปแบบเชิงเส้น (รักษาปัญหากำลังสองได้อย่างมีประสิทธิภาพ) คุณไม่สามารถใช้ RIDGE ได้ ซึ่งหมายความว่าในการมีปัญหากำลังสองฉันต้องทำงานกับรูปแบบการลงโทษ:

$$ RIDGE: \sum_{i=1}^{N} (y - x'\beta)^2 + \lambda \sum \beta_{i}^{2}$$

ปัญหาที่ชัดเจนของฉันคือการลดความแปรปรวนโดยเพิ่ม RIDGE Penalty

$${\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w' \Sigma w \ + \lambda \sum w_i^{2}$$ $$s.t. \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1$$

โดยทั่วไปฉันต้องการลดความแปรปรวนในขณะที่รวมน้ำหนักเป็น 1 ปัญหามาตรฐานที่ค่อนข้างดีในด้านการเงิน คำถามของฉันคือ: จะปรับฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์เพื่อให้รวมถึงการลงโทษได้อย่างไร? เมื่อทำงานกับตัวแก้เฉพาะเช่นquadprogคุณสามารถระบุเฉพาะเมทริกซ์กำลังสองที่แน่นอนบวกและเวกเตอร์สำหรับเงื่อนไขที่ไม่ได้ยกกำลังสองเท่านั้น ด้วยสูตรด้านล่างคุณจึงระบุ$H$ และ $f$. ลิงค์:https://www.mathworks.com/help/optim/ug/quadprog.html

$${\underset{x}{\arg\min}} \frac{1}{2} x' H x \ + f'x$$

ฉันสามารถแก้ไข H (ซึ่งเป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของฉัน) แต่สิ่งนี้จะเปลี่ยนจำนวนค่าในไฟล์ $w$ เวกเตอร์หรือฉันสามารถใช้งานได้ $f'$แต่นี่เป็นคำที่ไม่มีเหตุผล ฉันจำเป็นต้องใช้$\lambda x'x$ ในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของฉันซึ่งเท่ากับ $\lambda \sum x_i^{2}$.

Answer 1

แบบจำลองที่คุณได้รับมอบหมายมาจากกระดาษต่อไปนี้:

• de Miguel et al (2009)แนวทางทั่วไปในการเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตการลงทุน: การปรับปรุงประสิทธิภาพโดยการ จำกัด บรรทัดฐานผลงาน

แทนที่จะใช้คำเพิ่มโทษการหดตัวของเวกเตอร์น้ำหนักพอร์ตโฟลิโอควรหรือทำงานได้ดีที่สุดโดยเป็นข้อ จำกัด แยกต่างหาก:

$${\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w' \Sigma w \ $$

\begin{aligned} s.t. & \sum w_i^{2} \leq \delta^2 \\ & \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1 \end{aligned}

ที่ไหน $\delta$ มีการโต้ตอบแบบผกผันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง $\lambda$. กล่าวอีกนัยหนึ่งแทนที่จะเพิ่มขึ้น$\lambda$ เพื่อให้น้ำหนักผลงานเล็กลงคุณก็ลดลง $\delta$ เพื่อให้บรรลุผลการทำให้เป็นมาตรฐานเดียวกัน

นี่คือความหมายโดยการปรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์สำหรับการลงโทษ สูตรการถดถอยเชิงเส้นที่แสดงครั้งแรกนั้นเหมาะสมกว่ากับแนวทางของ Lagrangean ในการทำให้เป็นมาตรฐานในขณะที่สูตรการเพิ่มประสิทธิภาพ (ที่สอง) ที่คุณแสดงนั้นเหมาะสมกว่ากับแนวทางการเพิ่มประสิทธิภาพที่ จำกัดของการทำให้เป็นมาตรฐานและยังเบี่ยงเบนความกังวลของการเพิ่มประสิทธิภาพที่ไม่ใช่เชิงเส้นเนื่องจากฟังก์ชันวัตถุประสงค์หลัก (ความแปรปรวนของพอร์ตโฟลิโอ) ฉันเขียนว่ากำลังสองตามที่เป็นอยู่ในขณะที่ข้อ จำกัด ทั้งสองเป็นเส้นตรง ทั้งสองวิธีมีความเท่าเทียมกันเนื่องจากการโต้ตอบแบบตัวต่อตัวระหว่าง$\lambda$ และ $\delta$.

หากคุณยืนยันที่จะใช้สารเติมแต่ง $\lambda$ระยะโทษจากนั้นวัตถุประสงค์จะลดลงเป็นโซลูชันการวิเคราะห์แบบปิดที่รู้จักกันดีสำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสันโดยที่$I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาดเท่ากับ $\Sigma$.

$${\underset{w}{\arg\min}} \frac{1}{2} w'(\Sigma + 2\lambda I)w$$ $$s.t. \ \sum_{i=1}^{N} w_i = 1$$