รุ่น Hull White Extended Vasicek

Question

ฉันพยายามทำความเข้าใจสูตรในเอกสารสำคัญของ Hull & White "Pricing Interest Rate Derivative Securities" (1990) ฉันไม่เห็นว่าการจัดเรียงใหม่ (11) และการใช้เงื่อนไขขอบเขตส่งผลอย่างไรใน (13) ในหน้า 6 (ตามด้านล่าง)

ได้โปรดช่วยชี้ทางและขอโทษถ้ามันเป็นแคลคูลัสพื้นฐานของฉันที่ผิดพลาด

Answer 1

คุณพูดถูกสมการ (11) ได้มาโดยกลไกจาก (7) (โดยการหาอนุพันธ์ wrt ไปที่ $T$จากนั้นรวมกับ (7)) และพวกเขาคิดว่า (13) สามารถหาได้จาก (11) โดยไม่ต้องจำ (7) อาจจะโดยการผสานรวมอย่างชาญฉลาด (โปรดสังเกตว่า$B_tB_T - BB_{tT}$ เป็นตัวเศษของอนุพันธ์ wrt to $t$ ของเศษส่วน $B/B_T$) และใช้เงื่อนไขขอบเขต (ฉันคิดไม่ออก)

แน่นอนสิ่งที่เราทำได้คือแก้สมการเชิงเส้นลำดับที่หนึ่งใน$t$ (7)

$$ B_t = a(t)B-1. $$

ด้วยฟังก์ชันดั้งเดิมตามปกติ:

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

คำตอบทั่วไปของสมการ (7) คือ

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

ด้วย $c(T)$ ฟังก์ชั่นโดยพลการของ $T$.

เช่น $B(T,T)=0$เราต้องมี:

$$c (T)= -\beta(T).$$

ดังนั้น:

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

จากนั้นเราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าโซลูชันนี้เคารพ (13):

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

แก้ไข : โปรดทราบว่า (11) สามารถเขียนเป็น:

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$ ซึ่งเทียบเท่ากับ $$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

ณ จุดนี้เราต้องจำจาก (7) ว่าด้านขวามือเป็นฟังก์ชันของ $t$ เท่านั้น $a(t)$มิฉะนั้นการดำเนินการต่อจากที่นี่จะยุ่งยาก วิธีแก้คือ$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$ สำหรับ $ \gamma (T)$ ฟังก์ชั่นโดยพลการของ $T$. การรวม wrt เข้ากับ$T$, เราได้รับ:

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$ สำหรับ $ \eta (t)$ ฟังก์ชั่นโดยพลการของ $t$ และ $\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$.

เงื่อนไขขอบเขต $B(T,T)=0$ จากนั้นกองกำลัง:

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

ดังนั้น,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

อีกครั้งหนึ่งสังเกตว่า

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) หมายความว่า:

$$\eta(t) = \beta(t). $$