Smash Product เป็น Pullback?
ในการพิจารณา $\mathsf{Hom}$- ตลก
$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$
รู้สึกค่อนข้างชัดเจนสำหรับฉันว่า adjoint ด้านซ้ายคือผลิตภัณฑ์ที่ถูกทุบ
$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$
สิ่งนี้ให้ความรู้สึกค่อนข้างตรงไปตรงมาสำหรับฉันตั้งแต่ถ้า $F$ คือตัวปรับด้านซ้ายจากนั้น
$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$
ซึ่งหมายความว่า $F((X,x_0), (Y,y_0))$ เป็นเซตที่แหลมและสอดคล้องอย่างแม่นยำกับการแมปที่คงที่ในทุกคู่ของฟอร์ม $(x,y_0)$ และ $(x_0,y)$ เพื่อทุกสิ่ง $x\in X, y\in Y$.
ตอนนี้คำถามของฉันเกิดจากหนังสือของ Riehl ซึ่งเธออ้างว่าคำพูดนี้สามารถนำมาเรียบเรียงเป็นประโยค $\mathsf{Set}$ สามารถถูกแทนที่ด้วยหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียน
ผลิตภัณฑ์สแมชสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการดึงกลับหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่งเรามีแผนภาพการสับเปลี่ยนต่อไปนี้หรือไม่:
$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$
โดยที่สองขาแรกคือการฉายภาพและอีกสองขาถัดไปเป็นส่วนที่รวมของแบบฟอร์ม $i_{y_0}:X\to X\times Y$ ให้โดย $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ และในทำนองเดียวกัน $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ ให้โดย $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$เหรอ? แจ้งให้เราทราบหากตรรกะของฉันดูเหมือนจะฟังดูไม่ออกและหากไม่ใช่ทิศทางที่ฉันควรทำที่ไหน
คำตอบ
ในหมวดหมู่ของชุดปลายแหลมจุด $x_0\in X$ สอดคล้องกับ morphism $x_0 : * \to X$. ด้วยชุดปลายแหลมสองชุดคุณสามารถสร้าง pushout ได้$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ ที่คุณระบุสองจุด $x_0,y_0$ เป็นหนึ่งเดียวในสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อกัน $X\sqcup Y$.
ตอนนี้สังเกตว่า $X\vee Y$ เป็นชุดย่อย (ชี้) ของ $X\times Y$: ระบุถึงส่วนย่อย $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (เพียงเพราะจุดที่แตกต่างสองจุดกลายเป็นจุดเดียว $(x_0,y_0)$ ใน $X\vee Y$).
จะเป็นอย่างไรถ้าคุณเอาผลหารของ $X\times Y$ โดย $X\vee Y$เหรอ? นี่คือผลิตภัณฑ์ที่ยอดเยี่ยมของ$X$ และ $Y$. แต่ในขณะเดียวกันนี่ก็เป็นการผลักดันเช่นกัน$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ การทำงานนี้เหมือนกันทุกประการในทุกประเภทที่มีวัตถุเป็นศูนย์และปุ่มกดทั้งหมด: ตัวอย่างเช่นในประเภทของช่องว่างโทโพโลยีแบบชี้
ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจก็คือหากหมวดหมู่ของคุณคือกลุ่มอาเบเลียน "ผลิตภัณฑ์ทุบ" จะเป็นวัตถุที่เป็นศูนย์เนื่องจาก $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.
ดังนั้นคุณอาจคิดว่าผลิตภัณฑ์สแมชเป็นตัวชี้วัดความล้มเหลวของผลิตภัณฑ์และผลิตภัณฑ์ร่วมในการเป็นไอโซมอร์ฟิก: ผลหารยิ่งใหญ่ $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$ยิ่งหมวดหมู่แวดล้อมยิ่งมาจากการมีผลิตภัณฑ์สองประเภท