สร้าง Sigma Algebras
ฉันไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่ฉันจะเลือกหัวข้อต่างๆได้ทุกที่ทุกเวลาเมื่อฉันต้องการอะไรบางอย่างสำหรับหัวข้อที่ฉันกำลังศึกษาอยู่ในเวลาที่กำหนด ดังนั้นฉันต้องขออภัยหากนี่เป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับพวกคุณส่วนใหญ่และขออภัยในความผิดพลาดของแนวคิดที่ฉันอาจทำในคำอธิบาย - ฉันจะพยายามทำให้แม่นยำที่สุด
ในขณะนี้ฉันกำลังศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจากหลักสูตรนี้: https://www.youtube.com/playlist?list=PL5B3KLQNAC5jT6yjV1199ji1zUy1YUp6P , [เพื่อจุดประสงค์ในการทำความเข้าใจ Stochastic Calculus for Finance (Vol. II - S.
ในขณะที่ฉันเข้าใจแนวคิด; ถ้าเรามีเซตซึ่งเป็นชุดย่อยของ Omega (เช่นถ้าเรามีชุดของเหตุการณ์) ที่แสดงโดย F ดังนั้น F จะเป็นซิกม่า - พีชคณิตหากเป็นไปตามเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้
- Omega อยู่ใน F
- F ถูกปิดภายใต้การเติมเต็ม
- F ถูกปิดภายใต้สหภาพแรงงานที่นับได้
จนถึงตอนนี้ดีมากและฉันก็เข้าใจคุณสมบัติที่ได้มาจากคำจำกัดความเช่นเดียวกับที่มา นอกจากนี้ฉันรู้ว่าเรามีพีชคณิตซิกม่าเล็กน้อยพีชคณิตซิกม่าที่เล็กที่สุดในโอเมก้าและพีชคณิตซิกม่าแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งเป็นชุดพลังงานของโอเมก้าซึ่งเป็นพีชคณิตซิกม่าที่ใหญ่ที่สุดในโอเมก้า
ปัญหาของฉันคือการสร้าง sigma algebras ฉันเข้าใจคำจำกัดความ ให้ A เป็นชุดย่อยของ Omega โดยพลการจากนั้น sigma (A) คือพีชคณิตซิกม่าที่สร้างขึ้นซึ่งสร้างขึ้นจาก A และเป็นพีชคณิตซิกม่าที่เล็กที่สุดที่มี A นอกจากนี้เรายังสามารถหาพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดได้โดยการตัดกันของซิกม่าทั้งหมดที่มี A เนื่องจากจุดตัดของ sigma algebras ก็เป็นพีชคณิตซิกมาเช่นกัน
ส่วนสุดท้ายคือส่วนที่ฉันไม่เข้าใจและทำให้ฉันสับสน ฉันเข้าใจว่าเรามีชุดพลังของโอเมก้าที่มีคอลเลกชัน A อย่างแน่นอน - แต่เราหมายถึงอะไรโดยการตัดอัลเกบราสซิกม่าทั้งหมดที่มี A เพื่อค้นหาอันที่เล็กที่สุดที่มี A? หมายความว่าถ้าเรามีพีชคณิตซิกม่าที่มีคอลเลกชัน A และชุดย่อยอื่น B (ซึ่งเป็นพีชคณิตซิกม่าที่มี A แต่ฉันเข้าใจว่ามันไม่ได้เล็กที่สุด) และตัดกับเซตกำลังของโอเมก้า เราสร้าง sigma (A) ซึ่งเป็นสิ่งที่เล็กที่สุดและละเอียดกว่าเพื่อตอบคำถามที่เราต้องการในปัญหาของเรา? แต่พีชคณิตซิกม่าที่ใหญ่กว่า (ในคอลเลกชัน A และ B) มาจากไหน?
หากใครสามารถให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายกว่านี้หรือยกตัวอย่างได้ดีกว่านี้ (จำกัด เช่นม้วนกระดาษ) ฉันจะขอบคุณมาก
ขอบคุณมากที่สละเวลาอ่าน! :)
คำตอบ
ประเด็นคือไม่ต้องใช้ $\sigma$-พีชคณิต $B$ ที่มี $A$ และตัดกันด้วยพาวเวอร์เซตของ $\Omega$. (สังเกตว่าถ้า$B$เป็นใด ๆคอลเลกชันของส่วนย่อยของ$\Omega$และ $P(\Omega)$ คือพาวเวอร์เซ็ตของ $\Omega$แล้ว $B\cap P(\Omega)=B$. ตัดกับพาวเวอร์เซตของ$\Omega$ ไม่ได้ทำอะไรมาก) ประเด็นคือถ้าเรามีสอง $\sigma$- อัลจีบรา $B_1$ และ $B_2$ ที่มี $A$แล้ว $B_1\cap B_2$ ยังเป็น $\sigma$- พีชคณิตประกอบด้วย $A$(การออกกำลังกาย). ยิ่งไปกว่านั้น$B_1\cap B_2$ จะมีขนาดเล็กกว่า $B_1$ และ $B_2$ (เว้นแต่หนึ่งใน $B_1$ หรือ $B_2$ ประกอบด้วยอื่น ๆ )
ดังนั้น $\sigma(A)$นำความคิดนี้ไปสู่จุดสูงสุด: เราตัดกันทั้งหมด $\sigma$-algebras ที่มี $A$. ในสัญลักษณ์ให้$\mathscr{B}$ เป็นชุดของ $\sigma$-algebras บน $\Omega$ ที่มี $A$. แล้ว$\sigma(A)=\bigcap_{B\in\mathscr{B}}B$. แล้ว$\sigma(A)$ คือ $\sigma$- พีชคณิตประกอบด้วย $A$ (การออกกำลังกาย) และถ้า $B$ คือ $\sigma$- พีชคณิตประกอบด้วย $A$ แล้ว $\sigma(A)\subseteq B$ตามความหมาย ดังนั้นจึงเหมาะสมที่จะโทร$\sigma(A)$ ที่เล็กที่สุด $\sigma$- พีชคณิตประกอบด้วย $A$หรือ $\sigma$- พีชคณิตสร้างโดย $A$.
ทีนี้คุณถามว่าที่ไหนใหญ่กว่ากัน $\sigma$-algebras มาจากไหนและขึ้นอยู่กับตัวอย่างนั้นมาก โดยทั่วไปคอลเลกชัน$\mathscr{B}$ข้างต้นอาจมีความซับซ้อนมาก โดยทั่วไปที่เราสามารถพูดได้คือมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างเสมอ$\sigma$- พีชคณิตใน $\mathscr{B}$กล่าวคือชุดอำนาจของ $\Omega$.
การก่อสร้างของ $\sigma(A)$ คำอธิบายข้างต้นเป็นสิ่งที่ดีสำหรับคำจำกัดความ แต่ค่อนข้างยากที่จะนำไปปฏิบัติเนื่องจากอาจจะยากหรืออย่างน้อยก็ใช้เวลาในการคำนวณ $\mathscr{B}$. ให้โดยเฉพาะ$A$หากต้องการรับคำอธิบายที่ชัดเจนยิ่งขึ้นของ $\sigma(A)$จากนั้นสิ่งนี้มักจะเกี่ยวข้องกับการคำนวณตระกูลของเซตที่ต้องอยู่ในชุดใด$\sigma$- พีชคณิตประกอบด้วย $A$ จนกว่าคุณจะมีครอบครัวที่เป็นตัวเอง $\sigma$-พีชคณิต. แน่นอนถ้าคุณสามารถสร้างคอลเลกชัน$B$ ซึ่งคือ $\sigma$- พีชคณิตประกอบด้วย $A$ และต้องมีอยู่ใน $\sigma$- พีชคณิตที่ประกอบด้วย $A$แล้วก็เป็นไปตามนั้น $\sigma(A)=B$.
เมื่อไหร่ $\Omega$ มีข้อ จำกัด ความคิดกำลังดุร้ายนั้นสมเหตุสมผลกว่าเล็กน้อยเพราะคุณสามารถเริ่มปิดได้ $A$ ภายใต้จุดตัดและส่วนเติมเต็มจนกว่าคุณจะได้พีชคณิต
ตัวอย่างเช่นพิจารณาเส้นจริงและการรวบรวมเซตจุดเดียวทั้งหมด $\{\{x\}: x \in \mathbb R\}$. พีชคณิตซิกมาหนึ่งชุดที่มีเซตเหล่านี้คือเซตกำลัง อีกคนหนึ่งคือตระกูลของเซตที่นับได้ทั้งหมดและส่วนเติมเต็มของพวกเขา มีอีกหลายคนด้วย ตอนนี้ใช้ชุดที่เหมือนกันสำหรับอัลเจบราของซิกม่าทั้งหมด นั่นทำให้พีชคณิตซิกม่าสร้างขึ้นโดยครอบครัวของเรา ในกรณีนี้จะกลายเป็นเซตที่นับได้และส่วนเติมเต็ม เหตุผล: พีชคณิตซิกมาใด ๆ ที่มีซิงเกิลตันจะต้องมีเซตที่นับได้ทั้งหมด (เนื่องจากเป็นชุดยูเนี่ยนของซิงเกิลตันที่นับได้) นอกจากนี้ยังต้องมีส่วนเติมเต็ม ดังนั้นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดจึงมีเอกพจน์ทั้งหมดจึงเป็นตระกูลของเซตที่นับได้ทั้งหมดและส่วนเติมเต็มของพวกมัน