ถอนพีชคณิตสมมาตร
ถ้าเราพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์บนสนามปิดเชิงพีชคณิต $k$ ของลักษณะ $0$เรามีลำดับที่แน่นอนดังต่อไปนี้:
$$0\rightarrow \wedge^{2}V\rightarrow \text{T}^{2}V\rightarrow\text{S}^{2}(V)\rightarrow 0\text{,}$$ ที่ไหน $\wedge^{2}, \text{T}^{2}$ และ $\text{S}^{2}$หมายถึงองค์ประกอบระดับที่สองของพีชคณิตภายนอก (resp. เทนเซอร์และพีชคณิตสมมาตร) ในความเป็นจริงเราสามารถกำหนดการหดกลับอย่างชัดเจนได้$$\text{S}^{2}(V)\rightarrow\text{T}^{2}(V)$$ ซึ่งเป็นเพียง: $$v_{1}\cdot v_{2}\mapsto \frac{1}{2!}\sum_{\sigma\in S_{2}}v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma_{2}}\text{.}$$ คำถามของฉันคือคำถามต่อไปนี้เราสามารถอธิบายเคอร์เนลของแผนที่อย่างชัดเจนได้หรือไม่ $$\text{T}^{n}(V)\rightarrow\text{S}^{n}(V)$$เหมือนก่อน? มันเป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดการหดกลับสำหรับกรณีทั่วไปเราสามารถแทนที่ได้$2$ โดย $n$แต่เราอธิบายเคอร์เนลอย่างไร? เกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้$n=3$ และ $n=4$ (ซึ่งน่าจะง่ายที่สุด)?
ขอขอบคุณสำหรับเวลาของคุณ.
คำตอบ
(ด้านล่างฉันต้องการ $k$ มีลักษณะเป็นศูนย์ซึ่งอาจลดลงจนมีลักษณะที่ใหญ่กว่า $n$แต่ฉันไม่ต้องการให้ปิดด้วยพีชคณิต)
ขึ้นอยู่กับว่าคุณหมายถึงอะไร "อย่างชัดเจน" ความเป็นคู่ของ Schur-Weyl ที่เป็นนามธรรมหมายความว่ากำลังเทนเซอร์$V^{\otimes n}$ แตกขึ้นภายใต้การเดินทางของ $GL(V)$ และ $S_n$เป็นผลรวมโดยตรงของSchur functors
$$V^{\otimes n} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash n} S^{\lambda}(V) \boxtimes M^{\lambda}$$
สอดคล้องกับพาร์ติชันของ $n$. นี่คือการสลายตัวเป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้อย่างแม่นยำ$GL(V)$, และเมื่อ $n \ge 3$ มีมากกว่าพลังสมมาตรและภายนอกอย่างเคร่งครัด
ตัวอย่างเช่นเมื่อ $n = 3$ มี Schur functors สามตัวซึ่งสามารถคิดได้ว่าสอดคล้องกับการแสดงที่ไม่สามารถลดทอนได้สามแบบ $S_3$:
- ลูกบาศก์สมมาตร $S^3(V)$ซึ่งสอดคล้องกับการแสดงที่ไม่สำคัญของ $S_3$,
- ลูกบาศก์ภายนอก $\wedge^3(V)$ซึ่งสอดคล้องกับการแสดงเครื่องหมายของ $S_3$และ
- Schur functor $S^{(2, 1)}(V)$ซึ่งไม่มีชื่อที่ฉันรู้จักซึ่งสอดคล้องกับความไม่สำคัญ $2$- การแสดงที่ไม่สามารถวัดได้ในมิติของ $S_3$.
ดังนั้นเคอร์เนลของแผนที่สมมาตร $V^{\otimes 3} \to S^3(V)$ isomorphic เป็น $GL(V)$- การเป็นตัวแทนเพื่อ $\wedge^3(V) \oplus 2 S^{(2, 1)}(V)$.
สิ่งที่ฉันหมายถึง "สอดคล้อง" มีดังต่อไปนี้ ถ้า$M^{\lambda}$คือโมดูล Specht (การแสดงที่ไม่สามารถวัดได้) ของ$S_n$ ติดป้ายกำกับโดย $\lambda$แล้ว $S^{\lambda}(V)$ สร้างเป็น $V^{\otimes n} \otimes_{S_n} M^{\lambda}$. ส่วนประกอบไอโซไทป์ของ$S^{\lambda}(V)$ ใน $V^{\otimes n}$ สามารถแยกเป็นภาพของ idempotent
$$\frac{\dim M^{\lambda}}{n!} \sum_{\pi \in S_n} \chi_{\lambda}(\pi^{-1}) \pi$$
(ที่ไหน $\chi_{\lambda}$ เป็นลักษณะของโมดูล Specht $M^{\lambda}$) ซึ่งจะสร้างไอดีการสมมาตรที่คุ้นเคยเมื่อนำไปใช้กับการแสดงเล็กน้อยและ idempotent antisymmetrization ที่คุ้นเคยเมื่อนำไปใช้กับการแสดงสัญลักษณ์ตามที่คาดไว้ ทั้งหมดนี้สามารถทำได้อย่างชัดเจนเช่นเดียวกับที่คุณสามารถเขียนตารางอักขระของ$S_n$.