ติดตามเอนโทรปี

Question

ฉันกำลังศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเอนโทรปีติดตามและคอมบิเนเตอร์และฉันประสบกับปัญหาต่อไปนี้ ช่วยให้$\mathcal {D}$ เป็นตัวดำเนินการที่แตกต่างกันดังต่อไปนี้ $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ กล่าวคือ $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

สำหรับ $m\ge 0$ จำนวนเต็มถ้า $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ แล้ว $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ และ (อย่างน้อยก็เป็นทางการ) สำหรับฟังก์ชัน $g$ เราเขียนได้ $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ ที่ไหน $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

ฉันกำลังพยายามคิดว่าฟังก์ชันประเภทใด $g(x)$ สามารถปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้บน $(0;1]$

ผม) $g(x) \ge 0$, $g(0)=0$. (Positivity)

II) $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (บางประเภท$\mathcal {D}$- ความสงบ)

สาม) $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ (นี่คือความเว้ามาตรฐานที่แสดงด้วยตัวดำเนินการ $\mathcal {D}$

IV) $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ ดังนั้น $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V) $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ ดังนั้น $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

หากเรากำหนดเฉพาะเงื่อนไข I), II) และ III) มีฟังก์ชั่นมากมายที่ตอบสนองพวกเขา แต่

1. การเพิ่ม IV) ฉันไม่พบฟังก์ชันใด ๆ นอกจากแบบฟอร์มต่อไปนี้ $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ ค่าคงที่จริง (ที่นี่ $\varepsilon=1$). โปรดทราบว่า$g$ ไม่พอใจ V)

2. การเพิ่ม IV) และ V) ฉันไม่พบฟังก์ชันอื่นใดนอกจากการติดตามเอนโทรปีของ Boltzman-Gibbs-Shannon: $-x\cdot \log(x)$

ฉัน "กลัว" ว่าการติดตามเอนโทรปีของ Boltzman-Gibbs-Shannon เป็นฟังก์ชันเฉพาะที่น่าพอใจ I) -V)

ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับมุมมองใด ๆ

Answer 1

สำหรับใด ๆ $c\in(0,\log2]$, ฟังก์ชั่น $g$ กำหนดโดยสูตร $g(x)=cx$ สำหรับ $x\in[0,1]$ เป็นไปตามเงื่อนไขของคุณ I) –V) แต่ไม่ใช่การติดตามเอนโทรปีของ Boltzman – Gibbs – Shannon

---

มีฟังก์ชั่นอื่น ๆ อีกมากมาย $g$ตอบสนองเงื่อนไขของคุณ I) –V) ที่ไม่ใช่การติดตามเอนโทรปีของ Boltzman – Gibbs – Shannon โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับใด ๆ$c_1\in(0,\log2)$ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นค่าลบใด ๆ $H$ บน $[0,1]$และของจริงที่เล็กพอ $c_2\ge0$ และ $c_3\ge0$, ฟังก์ชั่น $g$ กำหนดโดยสูตร $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ สำหรับ $x\in[0,1]$ เป็นไปตามเงื่อนไขของคุณ I) –V) แต่ไม่ใช่การติดตามเอนโทรปีของ Boltzmann – Gibbs – Shannon