เอกลักษณ์เฉพาะ

Question

$\newcommand\la\lambda\newcommand\w{\mathfrak w}\newcommand\R{\mathbb R}$การคำนวณเชิงตัวเลขและข้อพิจารณาอื่น ๆ ( ค่าต่ำสุดของค่าเฉลี่ยของตัวแปรเลขชี้กำลังของ iid ) แนะนำว่า
$$\int_\R \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}$$ สำหรับ $u\in(0,1)$ด้วยอินทิกรัลที่เข้าใจในความหมายของคุณค่าหลัก อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถพิสูจน์เรื่องนี้ได้แม้จะได้รับความช่วยเหลือจาก Mathematica ก็ตาม

จะพิสูจน์ได้อย่างไร?

Answer 1

ฉันจะปิดรูปร่างในครึ่งบนของระนาบเชิงซ้อนค่าหลักจะรับ $i\pi$ เท่าของสารตกค้าง$^\ast$ ที่ $t=0$, ซึ่งเป็น $u/(1-u)$. ไม่มีเสาอื่นใด$^{\ast\ast}$

$^\ast$ $\frac{1-e^{i t u}}{e^{i t u}-i t-1}=\frac{u}{1-u}+{\cal O}(t^2).$

$^{\ast\ast}$ เสาอยู่ที่ $t=i\tau$ ด้วย $e^{-\tau u}+\tau=1$ (ไม่รวม $\tau=0$ซึ่งถูกยกเลิกโดยตัวเศษ); เหล่านี้ยังคงอยู่ที่$\tau<0$ เพื่อทุกสิ่ง $u\in(0,1)$, ใกล้เข้ามา $-2(1-u)$ สำหรับ $u\rightarrow 1$.

---

ในความคิดเห็นมีปัญหากับการประเมินตัวเลข ค่าปริพันธ์ของค่าหลักประเภทนี้สามารถประเมินได้แม่นยำยิ่งขึ้นโดยการแทนที่$1/t$ โดย $\frac{d\log |t|}{dt}$และดำเนินการรวมบางส่วน สิ่งนี้ให้$$\int_{-\infty}^\infty dt\,\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{1}t= -2i\Im\int_{0}^\infty dt\,\ln|t|\frac{d}{dt}\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}.$$ สำหรับกรณี $u=1/2$ พิจารณาในความคิดเห็น Mathematica ให้ 3.1406

Answer 2

$\newcommand\eps\varepsilon$ เราต้องการแสดงให้เห็นว่าภายใต้ $R\to\infty$ และ $\eps\to 0+$, เรามี $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)} \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ เทียบเท่า $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\left(\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}+1\right)\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ กล่าวอีกนัยหนึ่ง $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\pi\,\frac u{u-1}+o(1).$$ integrand เป็นโฮโลมอร์ฟิกในชุดเปิดที่มี $\{t\in\mathbb{C}:\text{$\ Im (t) \ geq 0$ and $t \ neq 0$}\}$ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของ Cauchy จึงเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า $$\int_{\gamma(R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=-\pi+o(1)\qquad\text{and}\qquad \int_{\gamma(\eps)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\frac{\pi}{u-1}+o(1),$$ ที่ไหน $\gamma(r)$ คือครึ่งวงกลมใน $\{t\in\mathbb{C}:\Im(t)\geq 0\}$ ไปจาก $r$ ถึง $-r$. สำหรับขนาดใหญ่$r$, Integrand บน $\gamma(r)$ คือ $i/t+O(1/t^2)$. สำหรับขนาดเล็ก$r$, Integrand บน $\gamma(r)$ คือ $-i/(t(u-1))+O_u(1)$. ผลลัพธ์เป็นดังนี้

Answer 3

นี่คือรายละเอียดการยืนยันของ Carlo Beenakker เกี่ยวกับเสาของ integrand สมมติว่า$t=x+iy$ เป็นเสาแบบนี้ที่ไหน $x$ และ $y$เป็นเรื่องจริง แล้ว$$1-y=e^{-uy}\cos ux,\quad x=e^{-uy}\sin ux.$$ สมมติว่า $y>0$. ถ้า$x=0$ แล้ว $1-y=e^{-uy}\ge1-uy$, ดังนั้น $(u-1)y\ge0$ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข $y>0$ และ $u\in(0,1)$. ดังนั้น,$x\ne0$ และด้วยเหตุนี้ $$\frac{\sin ux}{ux}=\frac{e^{uy}}u>1,$$ ซึ่งขัดแย้งกับความไม่เท่าเทียมกัน $\frac{\sin v}{v}\le1$ จริงทั้งหมด $v\ne0$.

ดังนั้น, $y\le0$.

ถ้าตอนนี้ $y=0$ แล้ว $1=\cos ux$ และด้วยเหตุนี้ $x=\sin ux=0$.

ดังนั้นเสาเดียว $x+iy$ ด้วย $y\ge0$ คือ $0$.