อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ Blaschke

Question

ปล่อย $z_n$ เป็นลำดับ Blaschke ใน $\mathbb{D}$ และปล่อยให้ $B$ เป็นผลิตภัณฑ์ Blaschke ที่กำหนดโดย $$B(z)=z^m\prod_{n=1}^{\infty}\frac{|z_n|}{z_n}\frac{z_n-z}{1-\bar{z}_nz}$$ ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกสิ่ง $n$. $$(1-|z_n|^2)|B'(z_n)|=\prod_{m=1,m\neq n}^{\infty}\left|\frac{z_n-z_m}{1-\bar{z}_n z_m}\right|$$

เพียงแค่หาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์เราก็มี $$B'(z) =mz^{m-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{|z_n|}{z_n}\frac{z_n-z}{1-\bar{z}_nz}+z^m\prod_{n=1}^{\infty}\frac{|z_{n}|}{z_{n}}\frac{(\bar{z}_{n}z-1)+(z_{n}-z)\bar{z}_{n}}{(1-\bar{z}_{n}z)^{2}}$$

แต่ฉันมีปัญหาในการดูว่าด้านขวามือของสมการได้มาจากตรงนี้อย่างไร

Answer 1

การคำนวณอนุพันธ์ของคุณดูเหมือนจะผิดพลาดเนื่องจากเห็นได้ชัดว่าคุณสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ในแง่ นอกจากนี้คุณกำลังใช้ตัวแปร$m$ เพื่อวัตถุประสงค์สองประการที่แตกต่างกัน

เราสามารถใช้นิยามของอนุพันธ์โดยตรงแทนได้ $B(z_n) = 0$ดังนั้น $$ \begin{align} B'(z_n) &= \lim_{z \to z_n} \frac{B(z)}{z-z_n}\\ &= \lim_{z \to z_n} z^m \left(\frac{|z_n|}{z_n}\frac{-1}{1-\bar z_n z}\right) \cdot \prod_{k \ne n}\frac{|z_k|}{z_k} \frac{z_k-z}{1-\bar z_k z} \\ &= \frac{z_n^m}{|z_n|^2-1 }\frac{|z_n|}{z_n}\prod_{k \ne n} \frac{|z_k|}{z_k}\frac{z_k-z_n}{1-\bar z_k z_n} \end{align} $$ จากนั้นข้อสรุปที่ต้องการจะตามมาด้วยการหาค่าสัมบูรณ์

Answer 2

จาก mu comment:

ด้วยกำลังเดรัจฉาน $$ B'(z)= mz^{m-1}\prod_{n\in\mathbb{N}}\frac{|z_n|}{z_n}\frac{z_n-z}{1-\overline{z_n}z_n} + z^m\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{|z_{n}|}{z_{n}}\frac{(\bar{z}_{n}z-1)+(z_{n}-z)\bar{z}_{n}}{(1-\bar{z}_{n}z)^{2}}\prod_{k\neq n}\frac{|z_k|}{z_k}\frac{z_k-z}{1-\overline{z_k}z} $$ ดังนั้น $$ B'(z_{n_0})=z^m_{n_0}\frac{|z_{n_0}|}{z_{n_0}}\frac{|z_{n_0}|^2 -1}{(1-|z_{n_0}|^2)^2}\prod_{k\neq n_0}\frac{|z_k|}{z_k}\frac{z_k-z_{n_0}}{1-\overline{z_k}z_{n_0}} $$

(ที่จะได้รับ $\Big(\prod_nf_n(z)\Big)'$ สามารถใช้ได้ $\log$ (อย่างเป็นทางการก่อนแล้วจึงเข้มงวด) เพื่อรับ $$\Big(\prod_nf_n(z)\Big)' = \Big(\prod_n f_n(z)\Big)\Big(\sum_n\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}\Big)$$

วิธีแก้ปัญหาที่ชาญฉลาดกว่าในปัญหานี้คือการสังเกตว่า $B(z_n)=0$ แต่ละ $n$ (เช่นเดียวกับคำตอบของ Martin R) จากนั้นใช้นิยามของอนุพันธ์ที่ $z_n$ โดยตรง.