19 bolas y una escala

Aquí hay una estrategia obvia

Elija doce bolas, divídalas en dos grupos de seis y compare los dos grupos usando las escalas. Si la balanza se inclina en un sentido (no está equilibrada), entonces sabemos que este grupo de 12 contiene la bola impar y podemos usar cualquiera de las estrategias detalladas en las respuestas a esta pregunta para deducir la bola impar y su peso relativo en tres más. pesajes.

De lo contrario, si la escala está equilibrada, sabemos que la bola impar es una de las 7. En este caso, podemos agregar 5 bolas del primer grupo para hacer 12 y luego repetir una de las estrategias detalladas en las respuestas a esta pregunta .

Nota

Esta rápida generalización nos da una estrategia para deducir la bola extraña hasta un tamaño fijo de 24.

Gareth McCaughan hizo referencia aquí a una solución muy agradable para la pregunta de las 12 bolas y 3 pesajes, que acabo de copiar en el texto del spoiler a continuación para una referencia rápida

Algunas de las respuestas existentes a esta antigua pregunta son excelentes, pero hay una respuesta famosa que creo que merece ser mencionada aquí. Proviene de un artículo en Eureka , la revista anual de la sociedad de estudiantes matemáticos de la Universidad de Cambridge, escrito por CAB Smith bajo el seudónimo de "Blanche Descartes".

Tiene dos características muy bonitas. La primera es que es una solución "no ramificada": no es necesario que cambie lo que hace en pesajes posteriores en función de los resultados de los anteriores. La segunda es que una vez que lo has visto es casi imposible olvidarlo.

La solución de Smith está escrita completamente en verso e incluye una explicación de cómo funciona todo, pero citaré solo la respuesta real. "F" aquí es nuestro protagonista, el profesor Felix Fiddlesticks, cuya madre le ha pedido ayuda con el rompecabezas. He realizado algunos cambios insignificantes en el formato original.

F colocó las monedas en una fila
Y marcó con tiza en cada una una letra, así,
Para formar las palabras: F AM NOT LICKED
(Una idea en su cerebro había hecho clic.)

Y ahora a su madre le ordenará:
"MA, HACER /
ME GUSTA A / ENCUENTRA
FALSO / MONEDA! "

Cada una de las tres líneas del mandato de F describe una ponderación. Cuando los haya hecho todos, los resultados determinan de manera única qué moneda es falsa y de qué manera.

Referencia adicional

Creo que para 4 pesajes podemos encontrar la bola extraña en un conjunto de tamaño $\frac{3^4 - 3}{2} = 39$. Aquí
se ofrece una buena discusión del problema general.