2 preguntas sobre el anillo$\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
No puedo resolver esta pregunta en particular en la teoría del anillo. Esto se preguntó en un examen de maestría para el que me estoy preparando.
Dejar$A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$.
(a) Demostrar que$A$es producto directo de dos dominios integrales.
(b) es el anillo$A$isomorfo a$\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?
puedo saber por$X^{3}-1$que ahora los elementos serían$ax^2+bx+c$,$a,b,c$perteneciendo a$\mathbb{Q}$. Pero no tengo ni idea de los productos directos de qué dominio integral hará este anillo.
También para el segundo tengo problemas para definir un mapa como$X^3$actuará como -1 en el segundo anillo. No creo que el mapa sea como$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$funcionaría ya que este mapa no es$1-1$.
Entonces, ¿alguien puede decirme cómo debo abordar estos dos problemas?
Respuestas
SUGERENCIA :
(a) Use el teorema chino del resto , que dice que para un anillo$A$e ideales$\mathfrak a,\mathfrak b$de$A$tal que$\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$,$A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. Además, un anillo cociente$\mathbb Q[X]/(f(X))$es un dominio integral iff$(f(X))$es un ideal primo iff$f(X)$es irreducible (ya que$\mathbb Q[X]$es un PID).
(b) Yo reclamo$\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$es un isomorfismo. Comprueba que se cumplen todos los axiomas.
(a) Como dijo Kenta S, dado que$1=(x^2-x+1)+x(x-1)$y$(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, tenemos$\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$y entonces$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$por el teorema chino del resto. Claramente,$x^2-x+1$y$x-1$son irreductibles. Por eso,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$y$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$son dominios.
(b) Claramente,$\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. También,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$por$x\to -x$. Por eso,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.